offline
- Pridružio: 21 Apr 2006
- Poruke: 118
- Gde živiš: U teretani
|
Uopsteno o matematici
Matematika potice od grcke reci mathema – sto znaci nauka.
Matematika je pre svega nauka koja se bavi izucavanjem aksiomatskih definisanih pojmova koristeci logiku.
Povijest i razvoj
Matematika se počela razvijati još u doba starih Egipćana. Razvila se iz potrebe da se obavljaju proračuni u trgovini, vrše mjerenja zemljišta i predviđaju astronomski događaji. Ove tri primjene mogu se dovesti u vezu s grubom podjelom matematike na izučavanje strukture, prostora i izmena.
Glavna polja matematike
Osnove matematike sadrže izučavanje strukture, prostora i izmena.
Strukture
Izučavanje strukture počinje s brojevima, u početku s prirodnim brojevima i celim brojevima.
Osnovna pravila za aritmetičke operacije su definirana u osnovnoj algebri, a dodatna svojstva celih brojeva se izučavaju u teoriji brojeva. Izučavanje metoda za rešavanje jednacina je dovelo do razvoja apstraktne algebre, koja između ostalog izučava prstenove i polja, strukture što poopćuju svojstva koja posjeduju brojevi.
Fizikalno važan koncept vektora se proučava u linearnoj algebri.
Prostor
Proučavanje prostora je počelo s geometrijom, prvo Euklidovom geometrijom i trigonometrijom u pojmljivom trodimenzionalnom prostoru, ali se kasnije proširilo na ne-Euklidske geometrije, koje imaju centralnu ulogu u opstojrelativnosti. Moderna polja geometrije su diferencijalna geometrija i algebarska geometrija. Teorija grupa izučava koncept simetrije, i predstavlja vezu u u izučavanju prostora i strukture. Topologija povezuje izučavanje prostora i izmjene fokusirajući se na koncept kontinuiteta.
Izmene
Razumijevanje i opisivanje izmjena mjerljivih varijabli je glavna značajka prirodnih znanosti, i diferencijalni račun je razvijen u te svrhe. Centralni koncept kojim se opisuje promjena varijable je funkcija. Mnogi prirodni problemi su vodili uspostavljanju veze između vrijednosti i količine izmjene, a pritom razvijene metode izučavaju se u diferencijalnim jednacinama. Brojevi koji predstavljaju kontinualne veličine su realni brojevi, a detaljno izučavanje njihovih svojstava i funkcija je predmet analize. Zbog matematskih razloga, uveden je koncept kompleksnih brojeva, koji se izučavaju u kompleksnoj analizi. Funkcionalna analiza je usredotočena na n-dimenzionalne prostore funkcija postavljajući time osnovu za izučavanje kvantne mehanike.
Napomena
Radi razjašnjavanja i izučavanja osnova matematike, razvijena su područja teorija skupova, matematička logika i teorija modela.
Aritmetika daje važnost brojevima, algebra rješavanju jednadžbi, dok geometrija objašnjava osobine i odnose figura u prostoru.
Primena matematike
Danas se matematika jako razvila i ima primene u mnogo grana, kako prirodnih, tako i društvenih znanosti. Važna oblast primienjene matematike je vjerojatnost i statistika (stohastička matematika), koja se bavi izučavanjem i predviđanjem slučajnosti i slučajnih pojava. Numerička analiza izučava numeričke metode izračunavanja, a diskretna matematika je zajedničko ime za područja matematike koja se koriste u računarskim znanostima. Uopsteno matematika je osnova svim naukama.
Matematika i ostale znanosti
Takođe se prilično često pokazalo da razvoj matematike ne mora nužno pratiti razvoj fizike ili neke druge "konkretnije" znanosti, to jest matematika se može razvijati "sama za sebe", a primjena onoga što se dobije već se nađe tokom godina razvoja drugih znanosti (primjeri za to nisu odviše jednostavni, ali, recimo, Riemannov prostor je jedan primjer za to - razvio se sam po sebi, a primjenu je našao tek u teoriji relativnosti)
Matematika u nizu drugih nauka
Dovoljni su i ovi navedeni primeri. Oni ilustruju onaj haos koji vlada medu klasifikatorima, i sigurno je da neće skoro prestati. Ali u jednom pravcu svi klasifikatori su ispoljili izvanrednu jednodušnost. Ogist Kont je dao matematici prvo mesto na enciklopediskoj lestvici od sedam stupnjeva, ona je najstarija u apstraktnoj grupi nauka. Isto nalazimo i kod Ampera, koji joj je dao ime aritmologija; Spenser, Vundt i drugi učinili su isto. Dakle, matematika, po opštem priznanju, zauzima prvo mesto među naukama i njenu ulogu Kant je okarakterisao ovako:
»U svakoj grani nauke o prirodi imamo utoliko nauku ukoliko se u njoj susreće matematika«.
Čemu duguje matematika za svoj tako izuzetan položaj? Zamislimo na trenutak da su zbog nekakve kataklizme na Zemlji iščezli minerali svi do jednog. Da li bi tada postojala nauka koja se zove mineralogija? Naravno da ne bi, jer za njom ne bi bilo nikakve potrebe. Isto pitanje se može postaviti za svaku drugu nauku, i sve one postoje samo utoliko ukoliko postoje objekti naučnog ispitivanja. Jedina je matematika u datom slučaju postavljena u izuzetne uslove. Ona će postojati sve dok ima šta da se broji i meri; njeni objekti su sve, što postoji. Sve se menja, to je osobina koja karakteriše veličinu. Dakle, vasiona je skup veličina i predmet matematike.
Suština matematike
Šta je matematika? U toku vekova data je masa odgovora. Prvo su govorili da je ma¬tematika »nauka o veličinama«, zatim »nauka o merenju veličina« (Ajler, 1708—1783). Pošto je neposredno merenje mogućno u samo izuzetnim slučajevima, to još je Holbes (1588—1679) dao ispravku koju je primio i O. Kont: »nauka o posrednom merenju veličina«. Ako dodamo na ovo pojam funkcije (Lajbnic, 1646—1716), možemo formulisati definiciju matematike kao nauke ovako:
»Matematika je nauka o zakonima promena veličina«
ili još bolje
»matematika je nauka o funkcijama«
(Robert Grasman 1872).
To je samo jedna strana pitanja. Ako se, pak, gleda ovako »da predmet matematike, kao i svake druge dokazne nauke, čine stvari, ne onakve kakve su u stvarnosti, već apstrakcije uma« (Mil, Sistem logike I, str. 114.), da je čista matematika lanac dobro prikupljenih silogizama, onda se može shvatiti gledište Hermana Grasmana (1809—1877): »nauka o posebnom svetu, stvorenom mišljenjem«, ili Hoene-Wronski: »nauka o formama spoljašnjeg sveta«.
Najzad Kant i Hamilton (1805—1865) posmatraju matematiku sa treceg gledišta. Oni za osnovu uzimaju opažanje vremena, i razmatraju brojeve kao vidljiva akta posledice, slaganja u vremenu; zato Hamilton daje novu definiciju: »Matematika je nauka čistog vremena«.
Moramo i po drugi put da konstatujemo, da se ljudi od nauke ne slažu; kao što postoje različite naučne klasifikacije, postoje i najrazličitija gledišta na suštinu matematike. Pokušaj da se izmire krajnosti zasad nije uspeo. Tako, naprimer, Simon u svojoj knjizi, (Simon, Didaktik und Methodik des Rechnens und der Mathe¬matik, 1908 IX, 2. Dalje ćemo citirati ovu knjigu kao »Simon«.) koja je podigla mnogo galame, kaže:
»Matematika je nauka o uređenom stvaralačkom sjedinjavanju i razlaganju, o stvaralačkoj sintezi i analizi«.
Lako je videti da ova definicija ne zadire u suštinu, već u metod; ovde se cilja na zakonitost i na razvoj, a nema ni reči o stvarnoj sadržini.
Sadržina matematike
Isto tako stvar stoji i u pogledti sadržine matematike. Skoro se svi klasifikatori pridržavaju sledećeg poretka: aritmologija (zadržaćemo Amperov termin), geometrija, mehanika, astronomija, fizika, hemija itd. Ali po pitanju sadržine takozvane »čiste matema¬tike« (Rusija), »mathematiques pures« (Francuska), »reine Mathematik« (Nemačka) itd. mišljenja se razlikuju više. Dok jedni smatraju da je »čista matematika« samo aritmologija, drugi uključuju i geometriju, a treći još i kinematiku (Hoene-Wronski, Kant, Karno, Hamilton, Vimdt i dr.). Kao ilustraciju navešćemo interesantnu klasifikaciju Vundt-a (Wundt, Ueber die Eintheilung der Wissenschaften).
I. Opšte matematičke nauke
A. Nauka kvantitativnih formi (Nauka o veličinama)
1. Nauka o računskim operacijama nad veličinom (Algebra)
2. Teorija zavisnosti veličina (Teorija funkcija)
B. Nauka kvalitativnih formi.
II. Specijalne matematičke nauke
A. Nauka o brojevima:
1. Aritmetika (Nauka o računskim operacijama nad brojevima)
2. Teorija brojeva (Nauka o brojevima i njihovoj međusobnoj zavisnosti)
B. Nauka o prostoru:
1. Sintetička geometrija (Nauka o obrazovanju prostornih oblika iz elemenata)
2. Analitička geometrija (Teorija primenjivanja pojma o veličinama na prostorne oblike)
C. Nauka o kretanju:
1. Sintetička kinematika (Nauka o slaganju kretanja)
2. Analitička kinematika (Primena opštih pojmova o veličinama na pitanja o kretanju).
Prepirke oko apsolutne definicije sadržine matematike treba smatrati kao sasvim neplodne. Neprestano kretanje unapred pojedinih naučnih odeljaka, više ili manje potpuno izdvajanje iz njih apstrahiranih delova, uopštavanje delimičnih teorija u opštu teoriju — sve to ispunjava život nauke. Može se govoriti samo o dinamičkoj, a ne o statičkoj matematici. Pitanja o sadržini čiste matematike dodiruju se sa osnovnim pitanjima teorije saznanja (gnoseologije); ne upuštajući se u njihovu analizu u suštini, može se samo ukazati na sledeću osnovu za kla¬sifikaciju matematičkih nauka.
Za izvodenje silogizma potrebne su dve premise, veća i manja. Ako se kao veća premisa uzme da je A = A (tj. primiti na veru zakone formalne logike), a kao manja hipoteza o apstraktnoj veličini, bićemo u stanju da izgradimo aritmologiju. Dodajući hipotezu o prostoru, dobijamo geometriju; nova hipoteza o vremenu, daje nam mehaniku, hipoteza o sili - astronomiju, a još jedna nova o materiji - fiziku i hemiju, itd. Jasno je, da su utoliko tačniji završni zaključci, ukoliko je manje hipoteza. I zato aritmologija stoji na čelu nauka. Ovo gledište su, implicitno, delili mnogi, naročito zaštitnici »čiste« geometrije i kinematike. Stvarno, stvaranje sintetičke geometrije kao da je skinulo s dnevnog reda hipotezu o prostoru; ali pokušaji Štauta, Kelia (Cayley), Klajna i dr. ostaju samo pokušaji, pošto se umesto hipoteze o prostoru, koji je merljiv, uzima prećutno hipoteza o projektivnom prostoru.
Ostale nauke, naravno, pripadaju vrsti primenjenih matematičkih nauka.
Feliks Klajn daje interesantnu klasifikaciju ovih poslednjih, osnovanu na stepenu tačnosti izračunavanja primenjenih u svakoj od njih. Prvo mesto zauzima astronomija i neki odeljci fizike; ovde broj decimalnih mesta dolazi do 7. Zatim sleduje geometrijsko crtanje sa 3 ili 4 decimala, dalje hemija sa 2, ltd. Ova klasifikacija nema ničeg zajedničkog sa naučnom klasifikacijom osnovanom .na gnoseologiji, ali ona se stalno menja i u svojoj primeni služi kao mera razvoja pojedinih nauka.
Pregled delova čiste matematike
Bilo kako bilo, sada geometrija ulazi u čistu matematiku, i mi ćemo je tu i ostaviti.
Sledeći pregled delova čiste matematike mogao bi se smatrati kao najpotpuniji:
1) Istorija i filozofija matematike;
2) Opšta algebra (matematička logika);
3) Algebra: niža i viša;
4) Aritmetika: niža i viša;
5) Teorija verovatnoće, kombinatorika;
6) Redovi;
7) Diferencijalni i integralni račun;
8 ) Teorija funkcija;
9) Geometrija elementarna čista;
10) Geometrija sintetička čista;
11) Geometrija nacrtna;
12) Geometrija analitička;
13) Geometrija diferencijalna;
14) Geometrija »Im Grossen«;
15) Geometrija više dimenzija;
16) Geometrija neeuklidska;
17) Opšta teorija transformacija (analitičke grupe transformacija, preslikavanja, vektorska polja, nomografija);
18 ) Teorija skupova i
19) Teorija grupa.
Izvodi i zaključci
Možda će sve što je izneto u ovoj glavi da izgleda suviše detaljisano i bez direktne veze sa pedagogijom matematike; zato ćemo sada izneti razloge koji su nas podstakli na takvo detaljisanje pitanja.
Hteli smo da pokažemo prvo, kakav haos pogleda, neustaljenih pojmova, spornih pitanja vlada baš sada u istraživanjima iz filozofije mate¬matike; međutim, ušlo je u običaj da se hvali matematička logika i sigurnost, i mladi umovi se navikavaju da gledaju na matematiku kao na nešto apsolutno.
Drugo, većina ljudi, čak i oni koji donekle poznaju takozvanu višu matematiku, nemaju konkretne pretstave o njenom sadržaju i ne vide kako se raširio njen okvir u toku poslednja dva stoleća. I ova jadna školska matematika izgleda im vrlo opširna, a univerzitetska nauka (naročito jadna u Rusiji) kao kruna ljudske premudrosti. Medutim, svaki od ovih devetnaest pomenutih delova pretstavlja posebnu oblast za istraživanja, iako su neke od njih tek nedavno stvorene (takvih je dve-tri), one ostale svojom sadržinom, svaka posebno, premašuju svu staru i srednjevekovnu nauku.
I najzad, dati pregled može da posluži kao ilustracija relativnog položaja geometrije i analize u XX veku. Većina grana se tako isprepletala, da je svakim danom sve teže ustanoviti gde se završava geometrija a gde počinje analiza, i obratno. Ovo stanje stvari najbolje se moze okarakterisati rečima Pikara (Emile Picard):
»Uzajamno preplitanje raznih naučnih grana postalo je danas krupan činilac, i svakim danom će postojati sve plodonosniji izvor važnih naučnih otkrića. U ovome i leži velika razlika izmedu savremene epohe i minule. Danas bismo teško razumeli one slučajeve kada su geometri prezirali analiste, i obratno; sada osećamo da je era zatvorenih škola, tesno vezanih samo za jedno gledište, prošla za uvek«.
I na kraju zavrsiceimo Gaussovom izrekom "matematika je kraljica nauke".
Izvor - bs.wikipedia.org/
math.com
Dopuna: 29 Apr 2006 11:52
Poznati Matematicari
• Pitagora
• Eratosten
• Arhimed
• Euklid
• Rene Descartes
• Isaac Newton
• Gottfried Wilhelm Leibniz
• Augustin Louis Cauchy
• Leonhard Euler
• Charles Fourier
• Laplace
• Karl Friedrich Gauss
• Nikolaj Ivanovič Lobačevski
• Niels Henrik Abel
• Bernhard Riemann
• Paul Erdös
• Benoît Mandelbrot
Ovde sam naveo neke od najznacajnijih matematicara, a ceo spisak mozete videti na:
library.thinkquest.org/22584/emh3000.htm
Dopuna: 10 Maj 2006 10:22
Evo jedan fenomenalan tekst u pdf formatu o opštoj matematici
matf.bg.ac.rs/~zlucic/opstamat.pdf
Dopuna: 16 Maj 2006 23:54
en.wikipedia.org/wiki/Mathematics#History
|
