Matematičke teoreme

• 2Ovo se svidja korisnicima: mcrule, Isidora01
  
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Pitagorina Teorema


Kvadrat nad hipotenuzom je jednak zbroju kvadrata nad katetama.
Pravougli trougao je trougao sa jednim pravim uglom (od 90 stepeni); a katete su dve strane koje čine pravi ugao, a hipotenuza je treća strana suprotna desnom kutu.
U slici ispod, a i b su katete pravkutnog trugla, a c je hipotenuza:





Pitagora je shvatio teoremu u ovom geometrijskom stilu, kao iskaz o površinama kvadrata:

Zbir površina plavog i crvenog kvadrata su jednake površini ljubičastog kvadrata.

Koristeći algebru, može se preformulirati ova teorema u moderni izraz sa opaskom da je površina kvadrata kvadrat dužine njegove stranice:
Uzimajuči da je trougao sa katetama dužina a i b i hipotenuze dužine c, onda
a² + b² = c²


bs.wikipedia.org/wiki/Pitagorina_teorema
još o Pitagorinoj teoremi možete pogledati na
en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_theorem



Talesova teorema


Talesova teorema (prema Talesu iz Mileta) kaže da ako su A,B i C tačke na kružnici, a gdje A i C čine promijer (dijametar) kruga, onda je ugao ABC pravi (pod 90 stepeni).



Dokaz

Koristimo sljedeće dokaze: suma uglova u trouglu je jednaka dva prava ugla (180 stepeni) i da su uglovi baza jednakokrakog trougla isti.



Jednakost vršnih kutova



Kutovi uz osnovicu jednakokračnog trokuta su jednaki



Poučak (K-S-K) o sukladnosti trokuta:

Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u stranici i njoj dva priležeća kuta.



Promjer raspolavlja krug



Talesov" poučak o kutu nad promjerom:

Svaki obodni kut nad promjerom kružnice je pravi kut.



Talesov" poučak o omjerima:

Neka su pravci p i q paralelni i sijeku kut aOb. Tada su sljedeće dužine proporcionalne:



Zbroj kutova u trokutu je 180°.



Neka O bude centar trougla. Pošto je OA=OB=OC, OAB i OBC su jednakokraki trouglovi, i po jednakosti uglova jednakokrakih trouglova imamo da je OBC=OCB i BAO=ABO. Neka y = BAO i δ = OBC.
Pošto je suma uglova pravouglog trougla jednaka 180 stepeni, imamo:

2γ + γ ′ = 180°
i
2δ + δ ′ = 180°

...takođe, znamo da je

γ ′ + δ ′ = 180°

Sabirajuči prve dvije jednačine i oduzimajući treču, dobivamo

2γ + γ ′ + 2δ + δ ′ − (γ ′ + δ ′) = 180°

...što nakon poništavanja γ ′i δ ′, dobivamo

γ + δ = 90°


bs.wikipedia.org/wiki/Talesova_teorema
Još o Talesovoj teoremi možete pogledati na
skole.htnet.hr/os-rijeka-002/matematika/veliki%20matematicari.htm





Teorija brojeva


Fenomenalan tekst o teoriji brojeba možete pogledati na
student.etfbl.net/~f13o/sem3/dm/DISKRETNA_MATEMATIKA.pdf matf.bg.ac.rs/~matic/competitions/dodatne/TBr_JBMO_vb.pdf

Napoleonova teorema i njena uopštenja


Citat:Iako Napoleonova teorema nije mnogo poznata i često korišćena (mada je u svakom slučaju daleko od totalno nepoznate) večeras sam je nešto proučavao pa sam pronašao i neka vrlo zanimljiva uopštenja, i da sve to ne bi propalo zapisaću ovde na jednom mestu.

Teoreme su sortirane po mojoj proceni njihove složenosti.

elitesecurity.org/tema/100682


Stjuartova i Morlijeva teorema


planetmath.org/encyclopedia/StewartsTheorem.html
planetmath.org/encyclopedia/ProofOfStewartsTheorem.html

cut-the-knot.org/triangle/Morley/index.shtml
planetmath.org/encyclopedia/MorleysTheorem.html
planetmath.org/encyclopedia/ProofOfMorleysTheorem.html

Erdeš-Mordelova nejednakost i njena uopštenja


Citat:Pošto je Erdeš-Mordelova nejednakost jedna od najbitnijih nejednakosti u trouglu evo nešto priče o njoj zajedno sa uopštenjima koja sam uspeo da pronađem.


elitesecurity.org/tema/99485


Teorema nejednakosti


elitesecurity.org/tema/121609