Matematički zadaci i razvoj matematičkog mišljenja

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Napisano: 23 Mar 2010 12:51

MATEMATIČKI ZADACI I RAZVOJ MATEMATIČKOG MIŠLJENJA

Miroslav B Mladenović Mirac
Nastavnik matematike
OŠ „Braća Milenković“ selo Šišava-Lomnica Vlasotince
Srbija
mmirac@ptt.rs




1.Sažetak(rezime)

Matematički zadatak je skup određenih podataka stavljenih u određeni odnos. Taj skup sadrži podatke koji su poznati i koji su nepoznati. Iz osnovnih podataka na osnovu odnosa među podacima treba da odredi nepoznatu vrednost.
Rešavanje matematičkih zadataka služi raznim konkretnim ciljevima nastave matematike, bez preterivanja može se tvrditi da se rešavanjem zadataka ostvaruju (postižu) gotovo svi didaktički ciljevi nastave matematike.
Sticanjem određenog sistema matematičkih činjenica i ideja, kao ovladavanje određenim matematičkim umenjima i navikama , ne znači automatski i adekvatan razvoj matematičkog mišljenja.
Naime, u procesu nastave matematike, osim formiranja određene „tehnike“ mišljenja (osposobljenost za ovladavanje fiksiranim operacijama i postupcima), učenici treba da se osposobe da otkrivaju nove veze i opšte postupke koji im omogavaju rešavanje novih zadataka i sticanje novih znanja i umenja.
Kraće rečeno, kod učenika treba formirati opšte postupke mišljenja , a ne samo postupke mišljenja u konkretnoj situaciji.
Karakteristika matematičkog mišljenja može se posmatrati sa nekoliko aspekata, kao što su:
- sadržaj ili tip mišljenja (konkretno, apstraktno, intuitivno, funkcionalno, dijalektičko, strukturno, stvaralačko ili produktivno mišljenje, s tim što ovo poslednje uključuje i sve predhodne komponente).
- opšte metode saznanja i matematičkog istraživanja (posmatranje, indukcija, dedukcija, primena analogije, matematičko modelovanje),
- forma, tojest kvaliteti mišljenja koji određuju stil mišljenja (gipkost, aktivnost, usmerenost, ekonomičnost, dubina, širina, kritičnost, originalnost, laonizam i dr.), subjektivna svojstva karaktera ličnosti (tačnost, upornost, konciznost, koncentracija, radoznalost, intelektualno poštenje, sklonost prema stvaralaštvu i dr.)

Proces rešavanja matematičkog zadatka, uopšte uzevši trebalo bi da ima:
Četriri osnovne etape(faze):
-(1) Analiza uslova i razumevanje zadataka (uz shematski zapis zadatka);
(2) Izvršavanje plana (glavni korak);
(3) Izvršavanje plana ( u svim njegovim pojedinostima);
(4) Osvrt na zadatak i njegovo rešenje (provera rešenja i formulisanje odgovora, analiza i komentar rešenja, rezime).
Ilustracija primera iz pedagoške prakse.

2.Ključne reči:
Zadatak. Osposobljavanje. Rešavanje.Mišljenje. Razvoj.



3. Uvod

Opšte je poznata uloga zadataka u nastavi i učenju matematike. S jedne strane, ta uloga je određena time što se konačan cilj nastave matematike svodi uglavnom na to da učenici ovladaju metodama rešavanja sistema matematičkih zadataka; s druge strane, ona je određena i time što je cilj nastave matematike moguće postići prvenstveno rešavanjem sistema matematičkih zadataka: s druge strane , ona je određena i time što je cilj nastave matematike moguće postići prvenstveno rešavanjem sistema zadataka. Na taj način, rešavanje zadataka u nastavi matematike javlja se i kao cilj i kao sredstvo te nastve.

Ako se pojam matematičkog zadatka shvati dovoljno široko (posebno, ako se i dokaz svake teoreme smatra zadatkom), onda se može reći da se izučavanje matematike ostvaruje najvećim delom rešavanjem matematičkih zadataka.
Rešavanje matematičkih zadataka služi raznim konkretnim ciljevima nastave matematike, bez preterivanja može se tvrditi da se rešavanjem zadataka ostvaruju (postižu) gotovo svi didaktički ciljevi nastave matematike:
Obrazovni:
-Sticanje novih matematičkih znanja (usvajanje pojmova, simbolike, dokaza, uočavanje ili ilustracija neke matematičke činjenice, formiranje umenja i navika pomoću sistema vežbanja –zadataka, uvođenje u nove sadržaje i stvaranjeodgovarajućih ’problemskih situacija’, utvrđivanje stečenih znanja,
tojest ilustracije primene izučavane „teorije“ i njeno dublje usvajanje, kontrola i samokontrola usvojenosti matematičkih znanja i dr.);
Praktični:
- Primena matematičkih znanja u rešavanju raznih problema iz svakodnevne prakse, srodnih disciplina i raznih drugih oblasti;
Razvojno-vaspitni:
- Formiranje i razvijanje specifičnog matematičkog stila mišljenja i osposobljavanje za aktivnosti matematičkog karaktera, vaspitanje niza pozitivnih osobina ličnosti- fabulom, sadržinom i procesom rešavanja zadataka, ostvarivanje politehničko-iformatičkog vaspitanja učenika.

Naročito je velika njihova uloga u razvijanju matematičkog mišljenja učenika (podsticanje i primena misaonih operacija, anlaiza situacije, osposobljavanje za pravilnu argumentaciju-dokazivanje ili opovrgavanje tvrdnji i pronalaženje grešaka, stvaranje matematičkih modela , samostalno sastavljanje i slično).

Sticanjem određenog sistema matematičkih činjenica i ideja, kao ovladavanje određenim matematičkim umenjima i navikama , ne znači automatski i adekvatan razvoj matematičkog mišljenja. Naime, u procesu nastave matematike, osim formiranja određene „tehnike“ mišljenja (osposobljenost za ovladavanje fiksiranim operacijama i postupcima), učenici treba da se osposobe da otkrivaju nove veze i opšte postupke koji im omogavaju rešavanje novih zadataka i sticanje novih znanja i umenja. Kraće rečeno, kod učenika treba formirati opšte postupke mišljenja , a ne samo postupke mišljenja u konkretnoj situaciji.

Osnovno didaktičko sredstvo za razvijanje matematičkog mišljenja jeste, pre svega, rešavanje ovih ili onih matematičkih zadataka čiji sadržaj ili način rešavanja odgovara određenoj karakteristici mišljenja.

Karakteristika matematičkog mišljenja može se posmatrati sa nekoliko aspekata, kao što su:
- sadržaj ili tip mišljenja (konkretno, apstraktno, intuitivno, funkcionalno, dijalektičko, strukturno, stvaralačko ili produktivno mišljenje, s tim što ovo poslednje uključuje i sve predhodne komponente).
- opšte metode saznanja i matematičkog istraživanja (posmatranje, indukcija, dedukcija, primena analogije, matematičko modelovanje),
- forma, tojest kvaliteti mišljenja koji određuju stil mišljenja (gipkost, aktivnost, usmerenost, ekonomičnost, dubina, širina, kritičnost, originalnost, laonizam i dr.),
- subjektivna svojstva karaktera ličnosti (tačnost, upornost, konciznost, koncentracija, radoznalost, intelektualno poštenje, sklonost prema stvaralaštvu i dr.).

U procesu nastave matematike adekvatnim didaktičkim putevima treba razvijati osnovne komponente matematičkog mišljenja (napred nabrojane), obraćajući posebnu pažnju na vaspitavanje tzv. Matematičkog stila mišljenja.


4. Matematički zadaci

Matematički zadatak je skup određenih podataka stavljenih u određeni odnos. Taj skup sadrži podatke koji su poznati i koji su nepoznati. Iz osnovnih podataka na osnovu odnosa među podacima treba da odredi nepoznatu vrednost.

Rešavanje zadataka je specifičnost nastave matematike. Osposobljavanje učenika da uspešno rešavaju zadatke jedan je od posebnih problema.
Sa metodske strane pitanje rešavanja zadataka je prilično razrađeno. Međuutim, sa didaktičkog stanovišta, zato šro je uglavnom vezano za nastavu matematike, nije u dovoljnoj meri razrađeno. Zbog toga se rešavanje zadataka ne javlja kao metoda pri klasifikaciji nastavnih metoda, ali se u nekim slučajevima javlja u okviru metode vežbanja radi utvrđivanja gradiva, ili pak kao metodski obkuk u okviru verbalno-tekstualne metode.


(1) Osposobljenost učenika za rešavanje matematičkih zadataka najbolja je karakteristika stanja matematičkog mišljenja učenika i nivoa njihovog matematičkog obrazovanja. U vezi s tim, jedan od najvažnijih i najsloženijih pedagoških problema je kako u procesu nastave matematike naučiti učenike da rešavaju matematičke zadatke.

Da bi se kod učenika razvijala sposobnost za rešavanje zadataka, mora se kod njih probuditi za to određeni interes, obezbediti potrebno vreme, razviti odgovarajuće misaone operacije (karakteristične za određene faze rešavanja zadatka). Pri tome, učenici treba da ovladaju opštim pristupom rešavanju zadataka, umesto upoznavanja nekih specijalnih činjenica i slično. Na primer učenje dokaza nije u tome da učenici nauče samo pojedine gotove dokaze (izložene na času ili udžbeniku), već u tome da učenici nauče da dokazuju razne tvrdnje, da se osposobe i za taj put izučavanja matematike.

Prilikom izbora zadataka mora se stalno imati u vidu da svaki zadatak treba da ima određeni cilj, svrhu, tojest treba da bude karika u dobro osmišljenom sistemu zadataka za određenu nastavnu jedinicu i temu.
Nastavne funkcije zadatka treba da shvate i učenici.
Svaki zadatak koji se daje učenicima treba nečemu da ih nauči (upoznavanje novog gradiva , ovladavanje nekim postupkom, osposobljavanje za neku matematičku aktivnost i dr.).
Rešavanje svakog matematičkog zadatka treba da bude korak napred u ulaženju učenika u matematiku, tojest, u obogaćivanju njhovih znanja iskustva , osposobljavanju da se orjentišu u različitim problemskim situacijama.

Pedagoška vrednost zadatka ceni ceni se prema ukupnosti svih elemenata koji mogu biti od koristi u konkretnoj situaciji (neposredni nastavni cilj , da li jeophodan baš taj zadatak , konkretni podaci o zadatku , fabula zadatka , mogućnost da ga učenik reši i eventualna pomoć nastavnika , veza sa predhodno rešavanim i narednim zadacima itd.).
U nastavi matematike prvenstveno moraju biti zastupljeni zadaci čije rešavanje doprinosi dubljem razumevanju i trajnom usvajanju sistema matematičkih predviđenih nastavnim programom. Naravno , osim toga, moraju u dovoljnom broju biti zastupljene i vežbe (sistem zadataka) za formiranje ovih ili onih matematičkih navika.
Pri izučavanju neke teme prvenstveno su važni uvodni odnosno " glavni“ primeri kojima se upoznaje i ilustruje obrađivano teorisko pitanje , razjašnjava njegov smisao, kao i uobičajeni zadaci za uvežbavanje raznih algoritama (obično prema datom obrazcu), jednom rečju zadaci koji doprinose usvajanju izučavanog sadržaja .
Poznavanje raznih algoritama neophodno neophodno je za rešavanje ne samo standarnih već i nestadnadrnih zadataka, jer se ovi često svode na jedan ili više standarnih zadataka.
Osim toga, treba da se koriste i zadaci koji su po svojim funkcijama znatno znatno „produktivniji“ ( što ne znači i teži)-u cilju razvijanja stalnog interesa za učenje matematike , aktiviranje mišljenja učenika, navikavanje i osposobljavnje za samostalan rad, istraživanje i savlađivanje teškoća.
Ovi zadaci mogu biti vrlo različiti po svojoj formi, didaktičkom cilju i mestu u nastavnom procesu. U vezi s tim veoma su korisni razni zanimljivi, nešablonski i „glavolomni“. Zadaci jer znatno oživljavaju časove matematike i podstiču intelektualnu aktivnost učenika.

U procesu nastave matematike a posebno pri rešavanju matematičkih zadataka, naročitu pažnju treba posvećivati aktuelizaciji znanja učenika. Radi toga su korisne specijalne serije zadataka koje su sastavljene tako da učenici nauče da vešto koriste ranije stečena znanja i iskustvo pri rešavanju novih zadataka, tojest da svoje znanje primenjuju u novoj situaciji.




(2) Pri rešavanju matematičkih zadataka (dokaznih, konstruktivnih, tekstualnih i drugih) najviše se koriste analiza i sinteza kao najopštiji metod rešavanja, dok druge metode imaju imaju nešto manje primene (isporobavanje svih mogućnosti, svođenje datog zadatka-postupnim ekvivalentnim transformacijama ili primenom raznih drugih znanja-na prostije slučajeve ili posledice koje dovode do traženog odgovora, matematičko i predmetno modelovanje i sl.).

Suština primene matematike u rešavanju nekog mpraktičnog zadatka sastoji se u prevođenju zadataka na matematički jezik ( stavaranje matematičkog modela), rešavanju tako formulisanog zadatka pomoću matematičkog aparata (jednačina ili dr.) i interpretaciji dobijenih rezultata na jeziku polaznih podataka. Međutim, treba uočavati da svako pravilo odnosno formula ima svoj određeni domen primene.

Potrebni umešanost, iskustvo i rutinu u rešavanju matematičkih zadataka učenici učenici mogu retko steći sami. Tome treba da ih nauči nastavnik, odnosno oni se za to mogu osposobiti praksom uz adekvatnu i smišljenu pomoćnastavnika.
Pri tome pomoć nastavnika ne bi trebalo da bude ni prevelika ni mala. Nastavnik može učeniku pomagati u rešavanju zadatka svojim savetima sugestijima ili pitanjima na koja učenik odgovara a ponekad i tako što postavlja pitanja (zadatke) i sam na njih odgovara (rešava zadatke), a učenici ga podržavaju. Međutim, mehaničko podražavanje nije nimalo efikasan metod obuke za rešavanje zadataka. Stoga su neophodna pitanja i uputstva koja kod učenika podstiču i razvijaju stvaralački pristup u rešavanju zadataka.
Ipak, sama pitanja i uputstva (saveti) ma koliko osmišljena bila, nidu dovoljna. Za rešavanje zadataka učenici će se najbolje osposobiti samo rešavanjem zadataka!
Učenike treba navikavati i osposobljavati da planski pristupaju rešavanju zadataka , naročito onih težih. Direkno ili indirekno, treba da vse utvrde postupci-operacije koje čine mehanizam procesa rešavanja zadataka. Pri tome se mora ići sistematski i etapno.
Prvo, zadatak se mora razumeti i jasno videti šta se traži, po mogućnosti zadatak treba shematski zapisati.
Drugo, mora se uočiti kako međusobno zavise razne pojedinosti , kakva je veza između nepoznate i datih podataka-da bi se došlo do ideje rešenja i stvorio plan.
Treće, treba izvršiti plan.
Četvrto treba načiniti osvrt, tojest, proveriti, diskutovati i komentarisati dobijeno rešenje.

Prema tome, proces rešavanja matematičkog zadatka, uopšte uzevši trebalo bi da ima:
Četriri osnovne etape(faze):
-(1) Analiza uslova i razumevanje zadataka (uz shematski zapis zadatka);
(2) Izvršavanje plana (glavni korak);
(3) Izvršavanje plana ( u svim njegovim pojedinostima);
(4) Osvrt na zadatak i njegovo rešenje (provera rešenja i formulisanje odgovora, analiza i komentar rešenja, rezime).

Svaka od ovih faza ima svoj značaj. Zadatke, naročito one teže, nipošto ne treba žuriti sa početkom rešavanja, tojest, izračunavanja ili konstrukcije, učenik ne bi trebalo da započinje ako zadatke nije razumeo (što se u praksi često susreće). Pravilno komponovane skice i crteži (shematski zapis zadatka, u prvoj fazi), naročito pri rešavanju geometriskih zadataka, mogu dosta doprineti da se dobije jasna predstava o celini „situacije“ vezane za određeni zadatak. Valja izbegavati specijalne položaje i posebne slučajeve kod crteža, jer mogu odvesti na pogrešan put.
Nema svrhe, da učenik radi neke pojedinosti (obavlja neke operacije) pre nego što je uočio glavne veze i stvorio neki plan. Naime, u rešavanju zadataka najvažnije je doći do ideje plana i na to skoncentrisati pažnju.
Nastavnik će nenametljivo pomagati (pomoći) učenicima da dođu do te ideje. Mnoge od teškoća učenici će izbeći ako se naviknu da kontrolišu svaki korak u realizaciji plana rešavanja.

Zaključna etapa je takođe veoma važna, pošto gotovo rešenje treba preispitati, izdiskutovati i izvesti (pojedine) određene poučne zaključke .


Potrebno mesto u rešavanju zadataka ima značajno mesto: čitanje matematičkih tekstova i udžbenika, zbirki, priručnika ilimatematičkih listova.
Potrebno je učenike obučiti da znaju sledeće:
- svaki tekst čitati oprezno i pažljivo;
- uočavanje ključnih reči i rečenica;
- razvijanje spobnosti zaključivanja;
- obaveznost proveravanja tačnosti odgovora;
- razvijanje sposobnosti interpretiranja dobijenih rezultata;
- razvijanje sposobnosti generalizovanja činjenica, i
- primene usvojenih zakona i principa na novim primerima.
U literaturi postoje četiri etape u rešavanju matematičkih zadataka, i to (prema navodu-plana rešavanja zadataka po G. Polya-):

1. Razmatranje zadataka, što podrazumeva:
- šta je nepoznato,
- šta je zadato,
- kako glasi uslov,
- da li moguće zadovoljiti uslov,
- da li je uslov dovoljan za određivanje nepoznanice,
- crtanje slike,
- rastavljanje raznih delova uslova.

2. Stvaranje plana, podrazumeva sledeće aktivnosti, kako navodi G.Palya:
- tražiti vezu između zadataka i nepoznatog,
- rešavanje srodnih zadataka(ako se postojećim znanjem ne ume rešiti),
- izrada plana za rešavanje,
- uočavanje glavnih delova zadataka,
- razmatranje zadataka sa različitih strana (aspekata),
- traženje dodirnih tačaka sa ranije stečenim znanjem,

3. Izvršavanje plana:
- provođenje plana zadataka: započinjanje od glavne ideje,
- kontrola ispravnosti svakog svakog pojedinog koraka formalnim
zaključivanjem ili intuitivnim uviđanjem.

4. Osvrt:
- razmotriti rešenje s različitih aspekata,
- razmatranje detalja rešenja,
- grafičko prikazivanje rešenja,
- uklapanje u ranije stečeno znanje,
- ispitivanje ideja koja je dovela do rešenja,
- uočavanje bitnog momenta koji se može upotrebiti u drugim zadacima.

Matematički zadatak je skup određenih podataka stavljenih u određeni odnos. Taj skup sadrži podatke koji su poznati i koji su nepoznati. Iz osnovnih podataka na osnovu odnosa među podacima treba da odredi nepoznatu vrednost.

Delovi zadatka:
- fabula(priča)-konkretni sadržaj koji povezuje određene podatke;
- Kvantitativni podaci- realni, moraju odgovarati razrednom radijusu;
- Matematičke radnje- određene (in) direkno;
- Pitanje (problem)-

Osnovni problem je kako da veličine izražene rečima izraziti matematičkim simbolima. Učenik će uspešno rešiti zadatak ako razume zadatak, mako prirodni govor u kojem je zadatak sastavljen zna transformisati u matematički izraz, ako zna izvoditi matematičke operacije, ako zna odgovoriti u svakodnevnom jeziku i proveriti pravilnost te ako je istrajan.

/nastavice se/

Dopuna: 23 Mar 2010 12:52

-nastavak-
Metodički postupak rešavanja tekstualnih zadataka:

1. saoštenje zadatka, 2. zapisivanje podataka, 3. ponavljanje sadržaja matematičkog zadatka. 4. analiziranje i sintetiziranje zadataka, 5. izrada plana, redosled izračunavanja veličina, 6. postavljanje matematičkog izraza, matematizacija stvarnosti, 7. procenjivanje rezultata-razvoj osećaja veličine, pouzdanost u dobijeni rezultat, 8. izračunavanje brojevnog izraza, 9. proveravanje rezultata, 10. formulisanje odgovora, 11. definisanje matematičih zakonitosti, 12. osvrt rešavanja zadataka.


P r i m e r: 1.
Otac ima 27 godina, a sin ima 3 godine. Posle koliko godina će otac biti dvaput stariji od sina?

R e š e nj e: prvi korak u rešavanju je da se utvrdi šta je nepoznato, šta se traži. Ovde je nepoznat broj godina (posle kojih će otac biti dvaput stariji). Označimo taj broj sa x. Sada treba jezičku formulaciju prevesti na jednačički jezik. To ćemo ovako učiniti. Posle x godina otac će imati 27+x, a sin 3+x godina. Pazite, još nismo koristili uslove problema. Uslov je da broj očevih godina bude dvaput veći od broja godina sina.
Prevod toga je: 27+x=2(3+x). Rešavanjem te jednačine zaključujemo da je traženi bvroj godina jednak 21.

P r o v e ra: posle 21 godine otac će imati 27+21, tj.48 godina, a sin će imati 3+21.tj. 24 godine. Broj 48 je, zaista, dvaput veći od broja 24.
Uputstvo rešavanja problemskih(tekstualnih) zadataka(V-VIII razred):

P r o b l e m s k i z a d a c i nekada mogu izgledati i teški, ali ne i uvek. Da ne bi bili teški dajemo nekoliko uputstava za njihovo rešavanje:

1. Da se formulcuja problema pažljivo pročita, kako bi se problem razumeo. To je onda većpola uspeha. Zbilja je to pola uspeh, jer se gubi strah koji se uvek javlja kada teškoća izgleda veća nego što jeste. Teškoća ae javlja kada ne razumemo problem a ne zbog toga kako ćemo ga rešiti.

2. dalje sledi određivanje cilja. Taj cilj se može i napisati. Na primer treba da izračunamo to i to. Cilj sami otkrivamo, postavljamo.

3. Kada otkrijemo i postavimo cilj, onda prizivamo u pomoć znanja koja imamo i pomoću njih gradimo, postavljamo put kojim ćemo ići u rešavanju problema. Možda taj prvi put kojim krenemo i neće dovesti do cilja. Tada njega ostavljamo i krećemo drugim putem. Naći pravi put za rešavanje problema znači odrediti i šta treba kao prvo izračunati, šta posle toga, i tako redom. To se može i napisati: to što treba da izračunam napisaću ovako: prvo ću ovo, pa ovo itd;

4. I na kraju se preporučuje da se proveri tačnost rešenja do koga se došlo. Provera je nužna da bi se stekla sigurnost, da bi se učvrstilo znanje i iskustvo koje smo stekli u rešavanju problema i da bismo se radovali uspehu.


Kada napišu dokaz ili dođu do rešenja nekog zadatka, po pravilu, učenici odmah „otkače“ taj zadatak, zatvaraju sveske i očekuju novi zadatak.
Tako se gotovo uvek izostavlja važna i poučna etapa rada (osvrt). Stoga kod učenika valja izgrađivati saznanje o tome da dobijanjem rešenja (odgovora rezultata) zadatak skoro nikad nije potpuno iscrpen, već da ostaje još ponešto da se uradi. Učenici retko zapažaju da zadaci im aju među sobom neke veze. Osvrt na rešavanje zadatka ( svojevrstan pogled unazad, ali i unapred) zgodna je prilika da se istraže veze tog zadatka sa drugim zadacima (primena istog postupka u nekoj drugoj situaciji, uopštavanje i slično).

Učenici retko imaju sistematska znanja o zadacima i suštini njihovog rešavanja, pa je njihova glavna pažnja pažnja (a često i nastavnikova pažnja) usmerena uglavnom na to da se dođe do rešenja zadatka (rezultata odgovora) i to što je moguće brže. Zaključučnoj analizi i izvođenju zaključaka iz rešenja zadataka, po pravilu, ne posvećuje se neophodna pažnja (za to obično „nema vremena“), a to je u stvari ono najvažnije ono zbog čega se zadaci i rešavaju.
To nekako izmiče pažnji, jer je zaklonjeno tehničkim problemom da se nađe i dobije samo rešenje (odgovr). Međutim, ako bi se rešavanje zadatka vršilo po određenom planu, dok bi u prvi plan došao nastavno-saznajni cilj rešenja zadatka.

U procesu nastave matematike učenici treba da se osposobe za rešavanje mrazličitih zadataka. Međutim, u školi se ne mogu razmotriti i porešavati sve vrste zadataka, a to nije ni neophodno, jer ma koliko zadataka rešili u školi, učenici će ipak u svom budućem radu msusretati nove vrste zadataka. Tojest rešavajući konkretne zadatke učenici treba da ovladaju opštim postupcima rešavanja zadataka u ma kojoj novoj situaciji.

Od posebne vrednosti je rešavanje istog zadatka na različite načine (uz izbor najboljeg od njih), jer je to često korisnije nego li rešavanje niza stereotipnih zadataka na jedan isti način. Naime, pri ocenjivanju nekog načina rešavanja zadataka (pogotovo u slučaju više načina rešavanja) aktivno su prisutne razne misaone operacije (analize, komparacija, generalizacija i druge)što, nesumljivo ima pozitivan uzicaj na razvoj matematičkog mišljenja. Uz to različite varijante rešavanja istog zadatka daju učeniku mogućnost da primeni čitav arsenal svojih matematičkih znanja (vaspitanje gipkosti mišljenja).
Posle rešavanja niza međusobno povezanih zadataka korisno je dati rezime, sistematizovati metode i mogućnosti rešavanja zadataka posmatrane vrste.




(3) osposobljavanje učenika za rešavanje matematičkih zadataka ima uobičajne organizacione oblike:
a) kada svi učenici u odeljenju rešavaju isti zadatak za isto vreme (frontalno-kolektivno ili individualno);
b) kada učenici msamostalno rešavaju različite grupe zadataka u zavisnosti od njihove pripremljenosti , mogućnosti individualnih sposobnosti (individualizovano).
Organizacija frontalnog(kolektivnog) rešavanja zadataka može biti različita: usmena vežbanja, pismeno uvežbavanje obrađenog gradiva (uz izradu zadataka na tabli) i posebno, komentarisano rešavanje (prilikom ispravke školskog pismenog rada, pri rešavanju zadataka na više načina i dr.), dok organizaciju individualnog rešavanja zadataka karakterišu razni vidovi samostalnog pismenog rešavanja zadataka (uz adekvatnu pomoć nastavnika ili bez nje) i sl. Individualizacija samostalnog rada učenika na rešavanju zadataka, shodno njihovim sposobnostima i mogućnostima, takođe može da ima različite vidove: pojedine grupe učenika rešavaju različite zadatke (dva ili tri nivoa zadataka), individualizacija rada na otklanjanju propusta u znanjima pojedinih učenika, individualizacija domaćih zadataka i drugo.


5. Razvoj matematičkog mišljenja

U nastavnom programu matematike za osnovu školu su navedeni zadaci, koji ističu da nastava matematike treba;
- da doprinese razvijanju dijalektičkog i logičkog mišljenja, rasuđivanja, zaključivanja, kao i intuicije i m ašte,
- da trazvija stvaralačko matematičko mišljenje za samostalno otkrivanje različitih načina u rešavanju problema iz prakse, nauke i tehnike.

Za uspešno ostavrivanje ovih zadataka potrebno je poznavanje procesa mišljenja i najbitnih komponenata mišljenja pomoću kojih se ono razvija.
U praksi, među obrazovno-vaspitnim ciljevima časa, nastavnici najčešće navode sledeće formulacije;
- razvijanje logičkog mišljenja i zaključivanja;
- razvijanje matematičkog mišljenja i druge.
To su, uglavnom uopštene formulacije. Ređe se konkretizuju komponente mišljenja koje dominiraju na času i koje bitno utiču na razvoj mišljenja kao što su određene misaone operacije, vrste zaključivanja, vrste dokaza i tako dalje.

Sam pojam mišljenja-je veoma složen pojam. Ovim pojmom se bavi psihologija i logika, svaka sa svog stanovišta. Sama definicija mišljenja je veoma teška za definisanje-zbog velikog broja definicija psihologa, pa u enciklopedijama i rečnicima nalazimo da je mišljenje:
- najviši stepen svesti kao subjektivnog odraza objektivne realnosti;
- Tok predstava koji dovodi do stvaranja pojmova i njihobvog povezivanja u sudove, zaključke, itd.;
- Svaki proces ili aktivnost koja nije dominantno perceptivna a kojom čovek shvata neki objekat ili neki aspekt objekata ili situacije.

Savremena logika definiše mišljenje kao subjektivno stvaralaščko odražavanje materijalne stvarnosti, psihe i društva.
Dakle, logičko mišljenje predstavlja proces saznavanja objektivne istine. Taj proces se odvija preko osnovnih logičkih formi mišljenja:
Pojmova, sudova i zaključivanja, i osnovnih zakona istinitog mišljenja (identiteta, neprotivurečnosti, isključenja trećeg i dovoljnog razloga.).

Proces mišljenja je u razvijanju jednoga o u identifikaciji različitog, a to znači:
Mišljenjem razlikujemo različite strane objekata, vršimo upoređivanje objekata po sličnim i različitim osobinama, uočavamo razne odnose između objekata, sjedinjujemo različito i jedinstveno, utvrđujemo ono u objektima što je konstatno, pšte i nužno.

Drugim rečima primenjujemo misaone operacije, preko kojih se odvija proces mišljenja.
Prema psihologolozima , razvoj mišljenja kod deteta odvija po etapama.
Od kraja 2-7. godine života dete se nalazi u fazi takozvane intuitivne inteligencije. Ono misli intuitivno, te nije u stanju da vrši grupisanje mentalnih operacija i logičkih relacija. Tako svoje zaključke slaže jedne pored druge, povezujući ih u logičku celinu.
Od 7-11 ili 12. godine, tojest, na uzrastu od I-IV razreda osnovne škole, dete može uspešno da vrši grupisanje operacija i relacija, pridržavajući se određenih zakonitosti. Na ovom stupnju razvoja dete je sposobno da istovremeno zamisli više materijalnih skupova, da razlikuje i odvaja zajedničke i različite njihove osobine.
Dakle, razvoj logičkog mišljenja kod deteta počinje od 7. godine (uz napomenu da ima izuzetaka), pojavom misaonih operacija, što znači da se u ovoj etapi mogu formirati neki jednostavniji matematički pojmovi.

Na uzrastu matematike od V-VIII razreda osnovne škole, značajna je etapa razvoja deteta od 11 ili 12. gfodine do 15. godine života.
Već smo predhodno ukazali na razvoj mišljenja, pa treba naglasiti da se mišljenje razvija učenjem matematike i obratno, razvijeno mišljenje doprinosi uspešnom učenju matematike.
Kako se u ovom periodu nastave dograđuju i formiraju mnogi matematički pojmovi (skupovi, operacije sa skupovima, skupovi brojeva, funkcija i dr.) i dokazuju mnoga matematička tvrđenja, veoma je značajno da se pri ovome pravilno primenjuju sve misaone operacije, svi oblici zaključivanja i svi zakoni istinitog mišljenja-kako bih se kod učenika izgrađivalo matematičko mišljenje.


Specifičnosti matematike koje posebno karakterišu matematičko mišljenje su: aksiomatičnost, deduktivnost, apstraknost, preciznost i simboličnost.

Aksiomatičnost je glavna odlika matematike kao nauke, pa i kao nastavne oblasti (predmeta). Tako se matematika u osnovnoj školi ne iszlaže strogo aksiomatski. Aksiomatičnost je itekako prisutna u nastavi: zakoni komutacije, asocijacije, distribucije, zatim dve različite tačke određuju jednu pravu, tri nekolinearne tačke određuju ravan i druga tvrđenja koja se nedokazuju-upravo su aksiome u nastavi matematike u osnovnoj školi.
Deduktivnost u zaključivanju i dokazivanju matematičkih tvrđenja, kao specifičnost matematike se iskazuje tako što se svaki matematički pojam (osim osnovnih) objašnjava se pomoću osnovnih ili već izvedenih pojmova, a svaki stav se takođe dokazuje iz već dokazanih ili osnovnih stavova.
Apstraktnost je specifičnost matematike, jer su svi matematički pojmovi apstrakni i u njihovom izgrađivanju posebnu ulogu ima apstrakcija kao misaona operacija, pa se često kaže da se kroz nastavu matematike razvija apstrakno mišljenje.
Preciznost u matematici se zahteva kako u izračunavanjima, konstrukcjama, kao i u matematičkom izražavanju-matematičkog jezika.
Simboličnost je, takođe, specifičnost matematike, jer se simboli koriste kako za objekte, tako i za operacije i relacije, tojes, za sve matematičke pojmove. Upotreba simbola u nastavi matematike doprinosi razvoju matematičkog mišljenja.
Navedene i druge specifičnosti u matematici, koje izdvajaju matematičku delatnost od drugih delatnosti i koje na poseban način utiču na razvoj mišljenja, jer razlog posebnog mišljenja-matematičkog mišljenja.

Za nastavu matematike je od svih vrsta mišljenja najznačajnije stvaralačko mišljenje. Pod takvim mišljenjem se podrazumeva da sposobnošću učenik prilikom rešavanja nekog problema, pronađe najpogodniji način rešavanja. Da učenik može uspešno da koristi stečena znanja, kao i način rešavanja.
Da učenik može uspešno da koristi stečena znanja, kao i da prilikom rešavanja praktičnih problema iznalazi odnose među određenim elementima u datom problemu, a da i formuliše problem.

Osnovni pokretač mišljenja je opažanje, a osnovni pojam mišljenja je operacija.
Misaone operacije koje učestvuju u formiranju svih matematičkih pojmova, kao i logičkom rasuđivanju i zaključivanju jesu:
- komparacija,
- identifikacija,
- diferencijacija,
- analiza,
- sinteza,
- apstrakcija,
- generalizacija.

Komparacija (upoređivanje) je misaona operacija kojom se utvrđuju iste ili različite odredbe dva ili više objekata. Upoznavanje objekata moguće je samo putem upoređivanja njihovih osobina.
Na primer da bi se shvatio pojam vertikalne prave, vrši se upoređivanje sa kosom pravom, pri čemu se uočavaju jednake odredbe (presek sa horizontalnom pravom) i različite (zaklapaju različite uglove sa horizontalnom pravom).

Identifikacija (razlikovanje) je misaona operacija kojom se utvrđuju jednake odredbe dva ili više objekata.
Na primer, kod kvadrata i pravougaonika važe iste osobine: dijagonale se polove, svi uglovi su pravi, naspramne stranice su paralelne, itd.

Diferencijacija (razlikovanje) je misaona operacija kojom se utvrđuju različite odredbe objekata.
Na primer, ako posmatramo pravougaonik i kvadrat, razlikujemo sledećae odredbe: susedne stranice kvadrata su jednake a susedne stranice pravougaonika su nejednake, dijagonale kvadrata su uzajamno normalne, a dijagonale pravougaonika nisu uzajamno normalne itd.

Analiza je misaona operacija kojom se vrši raščlanjivanje objekata na sastavne odredbe.
Na primer, kod jednakokrakog trapeza osnovice paralelne, kraci jednaki, dijagonale jednake, uglovi na osnovicama jednaki, osno simetrična figura.

Sinteza je misaona operacija kojom se vrši objedinjavanje pojedinih odredaba u celinu.
Na primer, ako zajedničke odredbe kvadrata i pravougaonika objedinimo, dobijamo odredbe pravouglog paralelograma.
Analiza i sinteza se veoma uzajamno dopunjuju u nastavi matematike.

Apstrakcija je misaona operacija kojom se zanemaruju (eliminišu, odstranjuju, odbacuju) pojedine odredbe objekata iz poskupa nekog skupa, dok ne ostanu samo one odredbe koje su svojstvene svim objektima tog skupa.
Na primer posmatrajmo podskup A,B,C,D skupa kocki, pri čemu je:
A-kocka od drveta crvene boje,
B-kocka od metala sive boje,
C-kocka plastike žute boje,
C-kocka od gipsa bele boje.
Odredbe kocke su:
1. ograničena je sa 6 podudarnih kvadrtatnih površi,
2. ima 12 ivica,
3. napravljena je o drveta,
4. crvene boje.

Odredbe ostalih kocki B,C,D slično se iskazuju.Ako zanemarimo različite odredbe-apstrahujemo, a zadržimo samo iste odredbe svih kocki, dobijamo odredbe geometriskog ntela kocke.

Generalizacija (uopštavanje) je misaona operacija kojom se izvesne odredbe pripisuju (dodaju) svim objektima istog skupa.
Na primer, posmatrali smo četiri kocke iz skupa kocki i uočili zajedničku odredbu-svaka je ograničena sa 6 podudarnih kvadratnih površi.
Tu odredbu pripisujemo i svim kockama koje smo posmatrali iz skupa kocki. Tako dolazimo do pojma geometriske kocke: geometrisko telo ograničeno sa 6 podudarnih kvadrata.

Treba napomenuti da sve navedene misaone operacije u formiranju matematičkih pojmova se javljaju zajedno. Kao što sam u predhodnom delu teksta naglasio, neko od njih se skoro uvek javljaju u jedinstvu: analiza i sinteza, identifikacija i diferencijacija, apstrakcija i generalizacija.
Ove misaone operacije su prisutne u svim oblicima zaključivanja (indukcija, dedukcija, analogija), a samim tim u dokazivanju i rešavanju zadataka.
Drugim rečima, bez procesa mišljenja, bez misaonih operacija, ne može se ni zamisliti proces nastave matematike.
Za razvoj matematičkog mišljenja kod učenika od izuzetnog značaja su misaone operacije, kako u formiranju matematičkih pojmova, operisanju njima, otkrivanju matematičkih relacija i zavisnosti, tako i u otkrivanju matematičkih istina-jeste najvažniji zadatak nastavnika matematike.

Analiza i sinteza se veoma uzajamno dopunjuju u nastavi matematike.
Dakle, Matematikom se razvija mišljenje, a tome umnogome doprinose
misaone operacije-misaone radnje:
(1) analiziranje i sintetiziranje-jedna misaona radnja, postoje dva procesa (raščlanjivanje i upoređivanje, koreliranje)
(2) zaključivanje-na osnovu poznatih sudova izvodi se movi sud:
-1.Indukcija: zaključivanje na osnovu konačnog broja posmatranih pojava,
-2. Dedukcija; polazi se od opštih istina, što važi u opštem slučaju i u pojedinačnom:
-3. Analogija: iz zapažanja da se dva predmeta podudaraju u određenim svojstvima ili odnosima zaključak da se oni podudaraju i u drugim svojstvima ili odnosima koji nismo direkno uočili;
(3) Upoređivanje – u međusobni odnos se stavi više predmeta, utvrđuje se što je zajedničko, a što je različito;
-operacija poistovećivanja (indetifikacija) i razlikovanja (diferencijacija

*
Opšte didaktičko-metodičke napomene o sistemu rada nastavnika u procesu nastave matematike („mala metodika“) završimo svojevsrnim rezimom u vidu nekoliko konkretnih poruka (koje treba povezati sa napred datim preporukama), kao Preporuka Simpoziijuma o nastavi matematike (u organizaciji UNESCO-a), održanog 1963. godine u Budimpešti:

Nastavnik matematike treba da.

- uzima u obzir prirodnu oštroumnost i matematičko predznanje učenika i ne ograničava se samo na mehaničke postupke i navike poželjne su diskusije između nastavnika i učenika;
- izaziva i podstiče intelektualnu aktivnost učenika;
- koristi emocionalna svojstva i povećava zainteresovanost učenika u procesu nastave;
- daje adekvatnu motivaciju za izučavanje novog gradiva;
- razvija sposobnost učenika za vršenje apstrakcije, stvara pedagoške situacije koje doprinose samsotalnom otkrivanju novih svojstava,
- koristi tablice, sheme, dijagrame, auido-vizuelna nastavna sredstva, specijalne matematičke igre;
- razvija „matematičko“ mišljenje učenika (formira induktivni, analitički i sintetički način mišljenja); koristi heurističke metode u nastavi;
- praktikuje rešavanje zadataka koji su povezani sa matematičkom teorijom i empiriskom praksom, zadataka problemskog karaktera, kao i tzv. Otvorenih zadataka (gde sam učenik bira podatke ili čak formuliše ceo zadatak);
- u nastavnom radu sa učenicima mlađeg uzrasta gradivo izlaže prvenstveno eksperimentalno-induktivnim putem, sa učenicima srednjeg uzrasta ( stariji razredi osnovne škole)-pretežno induktivnim putem, za učenike starijeg uzrasta (srednja škola)-akcenat pomera formalno-logičkom putu, uspostavljajući veze među proučenim svojstvima i činjenicama, te od tih svojstava i veza izgrađuje deduktivni sistem izlaganja gradiva.

6. Prilog:

Matematika III razred osnovne škole:
Nastavna jedinica: Rešavanje složenih zadataka 2. čas

Didaktičko metodički elementi nastavne jedinice
Tip časa:-Kombinovani-primena znanja u novim situacijama
Obrazovni zadatak:-da učenici primene stečeno znanje o logičkim fazama ili etapama rešavanja složenih matematematičkih zadataka; da otkrivaju (pronalaze) različite postupke rešavanja istog zadatka i da formiraju navike takvog-fleksibilnog prilaženja rešavanju zadataka.
Vaspitni zadatak:-sprečavanje rigidnog i konvergentnog načina mišljenja i osposobljavanje učenika za fleksibilno i divergentno mišljenje pri rešavanju problema (složenih matematičkih i drugih zadataka).
Oblik rada:-individualni i kolektivni
Metoda rada:-učenje otkrivanjem i živa reč-diskusija, razgovor
Sredstva:-materijal za učenje i zapisi na tabli

Štetno je jednostrano i nepravilno u nastavi matematike (naročito u početnoj fazi školovanja) upućivati učenike da uvek traže rešenja zadataka na isti način, naučeni(standardni) način ili algoritam, naprimer onaj koji je naveden u udžbeniku ili ga je učitelj saopštio. Time se razvija konvergentno mišljenje koje je usmereno samo u jednom (konvergentnom) pravcu. Iz toga može da proistekne izvesna krutost ili ukalupljenost mišljenja takozvana rigidnost, koja otežava razvoj kreativnosti.
Nastava matematike( i svih drugih nastavnih predmeta) treba da osposobljava učenike da otkrivaju različite puteve i načine rešavanja zadataka (problema) ne pridržavajući se uvek istog (standardnog) postupka.
Učeničko matematičko mišljenje usmeravati u raznim pravcima da polazi od različitih hipoteza, tojest da bude divergentno i fleksibilno. Složeni matematički problemi pogodni su za razvijanje takvog mišljenja. Da bi se to postiglo, učenike treba podsticati da otkrivaju razne načine i metode rešavanja pšroblema. U građi ove nastavne jedinice su pružena tri načina rešavanja istog zadatka. U svakodnevnom radu učenicima treba dati načina rešavanja istog zadatka. U svakodnevnom radu učenicima treba dati šansu da sami pronalaze (otkrivaju) razne metode rešavanja zadataka.
Građa ove nastavne jedinice ima tri dela. Posle svakog dela sprovodi se samoocenjivanje i ispravke grešaka. Učenicima koji su grešili pomoći da shvate zašto su pogrešili i kako treba doći do rešenja. Tek kad svi učenici dobro savladaju jedan deo, treba preći na naredni.
Prilikom utvrđivanja građe-na narednim časovima i pri rešavanju složenih zadataka na razne načine-potrebno je omogućiti učenicima da vide ispisane (na tabli, grafo-foliji) sve načine da bi muočili njihove razlike i sličnosti. Svakom učeniku češće dozvoliti da koristi način koji njemu najviše odgovara, koji mu je najlakši, ali treba da poznaje i ostale načine rešavanja istog problema.
-nastaviće se-

Dopuna: 23 Mar 2010 12:54

-nastavak-
REŠAVANJE SLOŽENIH MATEMATIČKIH ZADATAKA

-drugi čas-
------------------------------------------------------------------------------------------

Učenik:-------------------- SAMOOCENJIVANJE
-------------------------- Svega zadataka:13
Rešeno zadataka: ------------


Datum ----------------------Razred i odeljenje:------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cilj učenja ove lekcije je:
-rešiti zadatak:
-pridruživati se opštih obaveza za rešavanje složenih zadataka;
-vežbati se u pronalaženju (otkrivanju) različitih načina rešavanja istog zadatka.
Ponovi u sebi cilj učenja i zapamti ga.

Uputstvo za rad
Obratiti pažnju na nsve podatke koji su navedeni u zadatku. Nastoj da razmišljanjem dođeš do rešenja. Pri tome možeš koristiti razne načine i postupke rešavanja zadataka.

Prvi deo
Zadatak glasi:
U prodavnici je bilo 938 kg brašna. Jednog dana prodavac je prodao 140 kg, a drugog dana tri džaka po 65 kg.
------------1. Moja prva obaveza pri rešavanju zadataka jeste da utvrdim --------
------------- Te podatke upisaću u sledeću šemu:


--------------------------------------------------------------------------------------------
Ukupno brašna Prodato brašna
Prvog dana Drugog dana

-----------------------------------------------------------------------------------

----------------------------------------------------------------------------------------------
------2.Moja druga obaveza je da utvrdim šta je -------- u zadatku.
-------3.a) Ne zna se koliko je prodavac prodao----------- dana.
b)Nezna se koliko je prodao----------------------------------------
v)Ne zna se koliko je ------------ brašna u prodavnici.

Drugi deo

-----4.Moja treća obaveza je da sastavim -------------- rešavanja zadataka.
A četvrta je --------- zadataka.
Koristićemo tri načina rešavanja ovog zadataka.

Prvi način:
------5.Najpre nću izračunati koliko je mprodavac prodao----------------
Dana, a potom koliko je mprodao prvog i drugog dana zajedno. Tu sumu brašna koju je on prodao treba --------------- od ukupne količine brašna.
------6. Zadatak postupno rešavazi ovako:
a)drugog dana je prodao 3.65 kg. To je------kg.
b)Prvog i drugog dana prodao je----------+----=-----
v)Ostalo mu je 938- -----------=603 kg brašna.

Drugi način
-----7.Najpre ću izračunati koliko mu je mostalo posle prvog dana kada je prodao 140 kg. To zapisujem i rešavam ovako:
-----8.Od te količine koja mu je ostala (798 kg) sada treba------------- količinu brašna koju je prodavac prodao drugog dana , a to je 3.65=-----
Ukupno mu je ostalo 798 - -----------------=---------- kg brašna.

Treći način
-----9.a)Ako nepoznatu količinu brašna obeležim znakom X, onda zadatak mogu rešiti pomoću ---------------------
c) Sve ono što je prodao prvog i drugog dana i ono što je ostalo čini ukupno------kg. Nepoznato je X, tojest ono što je ostalo. Zato ću jednačinu napisati ovako(upiši odgovarajuće matematičke oznake):
140 3 65 X = 938
----10. U ovoj jednačini najpre bse mora izračunati koliko je------- zato što se prvo radi----------------- pa onda sabiranje.
-----11. sada jednačina glasi: 140+195+X=938. S leve strane jednakosti imamo tri sabiraka od kojih je nepoznati treći sabirak X. Da bi smo jednačinu uprostili, prva dva sabiraka ćemo---------. To je osobina------------ sabiranja. Sada jednačinu pišem ovako 335+------=938.
-----12. Šta je nepoznato u ovoj jednačini? Nepoznat je ------------
----------Nepoznati sabirak izračunaću tako što ću-------------
-----------poznati sabirak. To pišem obako: 938-335=--------

Treći deo
Proveri da li si na sva tri načina dobio isti rezultat.
-----13. naša poslednja (peta) obaveza je da izvršimo-----------------
Pošto sad znamo da je nepoznato X=603, taj će mo broj napisati umesto znaka----- u jednačini(vidi 10.zadatak). Šta utvrđujemo proverom?------ Utvrđujemo da su leva i desna strana jednakosti----------------
140+195+603=938
938=938

Samoocenjivanje
Kad učitelj saopšti odgovre (rešenja zadataka), napiši znak PLUS kod rednog broja pitanja ako ti je zadatak tačan(ako su svi podaci tačni). Ako nije tačno, napiši na crtici pored rednog broja MINUS.


Sanoispravke
Ispravi greške koje si učinio. Proveri zašto su nastale. Nauči tačne odgovore.

Samoprovera
Jesmo li se i prilikom rešavanja ovog zadataka pridržavali onih pet obaveza? Zašto jesmo
Na koliko smo načina rešavali zadatak?
Zašto je dobro i korisno rešavati isti zadatak na razne načine?
Proveri još jednom do svaka tri navedena načina-

Dopunski zanimljivi zadaci
1. Zamisli jednocifreni broj. Pomnoži ga sa 10. Dobijeni proizvod podeli sa zamišljenim brojem. Dobio si 10. Zašto?
2. 2. Popuni prazna mesta u magičnom kvadratu(3x3) tako da se dobije zbir 60 po dijagonalama, kolonama i vrstama u tabeli:

4
20
16 36

Odgovori:
1. Šta je poznato
938 140 3.65
2. nepoznato
3. a)drugog
b)prvog i drugog dana zajedno
v)ostalo .....
-----------------------------------------------------------
4. plan.......izrada (rešavanje)
5. drugog dana.....oduzeti
6. a)195 kg
b)140+195=335
v)938-3350603 kg.
7. 938-1400798
6. oduzeti, 3.65=195
798-195=603 kg
9. a)jednačine
b) 938; 140+3.65+X=938
10. 3.65........množenje
11. sabrati; asocijativnost; 938-335=603 kg
---------------------------------------------------------------------
13. proveru:X, jednačine

Dopunski zanimljivi zadaci(odgovori)
1. Primer: 9-10=90; 90:9=10
2. Bilo koji zamišljeni broj pomnožen sa 10 i taj proizvod podeljen istim zamišljenim brojem daje 10.
3. 2. U prvi red treba upisati brojeve 32 i 24; u drugi 12 i 28; u treći 8.



7.Zaključci
1.) Nedostatak opšteg didaktičko metodskog znanja u rešavanju matematičkih zadataka i razvoja matematičkog mišenja u nastavi matematike osnovne i srednje škole ima često posledicu neuspeha nastavnika i učenika u nastavi matematike,
2.) Velika je potreba da se u nastavi matematike mnogo više posveti rešavanju matematičih složenijih zadataka u kojima se razvija matematičko mišljenje i koji imaju veluku vaspitnu funkciju za ostvarivanje nastave matematike u školi i razvoj ličnosti učenika;
3.) Postoji potreba za ovakvom literaturom kod nastavnika praktičara, pa je još veća obaveza da se na ovu temu održavaju posebni seminari uže stručnog i didaktičko metodskog usavršavanja nastavnika u osnovnim i srednjim školama.


8. Literatura:
[1] Uputstvo za realizaciju nastavnog programa MATEMATIKE (za osnovnu školu u republici Srbiji):-„Arhimedes“, 1995. godine Beograd, strana 18-24,
[2] Mr Stanoje Petrović, Jovan Martić, Milan Petković:-DIDAKTIČKO METODIČKI PRIRUČNIK, za nastavu matematike (V-VIII razred osnovne škole), Zavod za udžbenike, Beograd, 1983. godine, strana 14-18, strana 84
[3] MATKA - casopis iz matematike za osnovne skole matka@math.hr - izdaje
Hrvatsko matematicko društvo 2009. godine
[4] Dr Velimir penavin:- Struktura i klasifikacija metoda u nastavi aritmetike i algebre, Zavod za izdavanje udžbenika Srbije, Beograd 1966. godine, strana 115-125,
[5] Milenko M. Nikolić:- Vaspitanje u nastavi matematike u osnovnoj školi, Naučna knjiga, Beograd 1969. godine, strana 57-72,
[6] Radomir Radovanović:- UČENJE OTKRIVANJEM broj 2, biblioteka „Učitelj“ Prosvetni pregled-Dečje Novine, Beograd i Gornji Milanovac, 1983. godine, strana 97-101.

31.maj 2009, godine Autor: Miroslav B. Mladenović Mirac
Vlasotince


23. mart 2010. godine Vlasotince
Miroslav B. Mladenović Mirac lokalni etnolog, istoričar, matematičar i pisac na dijalektu Srbije