Matematika - Geometrija

• 8Ovo se svidja korisnicima: piplfoks, aleksandar996, Fa7aL!tY, mcrule, CyberSrbin032, Isidora01, Branko Popowic, Ivana Gavrilović
  
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Geometrija


Geometrija je grana matematike koja se bavi proučavanjem likova u ravnini i tela u prostoru.


Danas kada pomislimo na geometriju ona nas odmah asocira na tačke, krugove, trouglove, prave i dr...
Medjutim sama reč geometrija potiče iz drevnih vremena (još u vreme starih Egipćana) i njen prevod bi u bukvalnom smislu bio zemljomerstvo.Da bi se shvatila sama suština geometrije, njen značaj i doprinos razvoju nauke uopšte, ne samo matematike, neophodno je osvrnuti se na istorijski razvoj geometrije.

Sami pojmovi trougao, četvorougao, mnogougao koristili su se u vreme starih Egipćana, Vavilonaca, Sumerana i dr.
Prema pisanim dokumentima, zemljomerstvo je nastalo u Egiptu, jer je bilo neophodno posle poplave Nila meriti imanja i oznacavati medje.Prirodna ljudska radoznalost i istrazivacki duh su doveli do otkrivanja i drgih osobina geometrijskih figura. U pocetku se do opštih osobina dolazilo na osnovu nekoliko eksperimenata, posmatranjem i intuicijom. Ovakav način izvodjenja zaključaka je tzv. nepotpuna indukcija. Negde u 6. Veku pre nove ere Grci su preuzeli vodeću ulogu u razvoju nauke i kulture. Oni su od Egipćana i Vavilonaca preuzeli naučna saznanja, a onda su počeli sve to da sredjuju. Saznanja se prvjeravaju (dokazuju), oslanjajući se na nove usvojene zaključke. Tako nastaje nova metoda zaključivanja, koja ce bitno uticati i na razvoj drugih naučnih oblasti. To je tzv. deduktivna metoda, cija je osnovna karakteristika da sve nove zaključke izvodimo iz ranije utvrdjenih zaključaka - svako novo tvrdjenje se dokazuje.


E sada da predjemo na glavni deo geometrije (geometrijske figure i geometrijska tela).


Geometrijske figure


Geometrijske figure bi najjednostavnije opiso kao objekte u 2D.
Dakle to su objekti u dvodimenzionalnom prostoru.
U sledećem tekstu daću podelu geometrijskih figura i ukratki opis svake figure pojedinačno, dok formule (površinu, zapreminu…) i slike geometrijskih figura i tela možete pogledati na sledećem linku holo.hr/formule.htm


Mnogougao

-Trougao

a) pravougli
b) jednakokraki
c) jednakostranični
d) nejednakostranični

-četvorougao

a) deltoid
b) kvadrat
c) paralelogram
d) romb
e) pravougaonik
f) trapez (pravougli,jednakokraki)

-šestougao (pravilni šestougao)

Krug



Mnogougao je geometrijska figura koja ima 3 ili više stranica, odnosno mnogougao je unija jedne mnogougaone linije i njene unutrašnje oblasti.
U matematici najčešći mnogouoglovi koji se koriste su trougao, četvorougao i šestougao.
Ako mnogougao ima n temena, gde je n prirodan broj veći od 2, onda on ima i n stranica, n unutrašnjih uglova i n spoljašnjih uglova.
Mnogougao čije su sve tri stranice i svi uglovi jednaki naziva se pravilan mnogougao.


Šestougao je mnogougao sa šest stranica, dok je pravilan šestougao šestougao kod koga su sve stranice jednake.


Trougao je mnogougao koji sadrži 3 stranice i čiji je zbir unutrašnjih uglova jednak 180o. Zbir spoljašnjih uglova jednak je 360o.
Spoljašnji ugao jednak je zbiru dva unutrašnja njemu susedna ugla.
U svakom trouglu postoje četiri značajne tačke trougla.
Simetrale stranica trougla seku se u jednoj tački (centar opisane kružnice).
Simetrale unutrašnjih uglova seku se u jednoj tački (centar upisane kružnice).

Visine trougla seku se u jednoj tački (ortocentar trougla)
Duž koja spaja teme sa središtem naspramne stranice trougla naziva se težišna duž trougla. Težišne duži trougla seku se u jednoj tački.
Ova tačka se naziva težište trougla I deli svaku težišnu duž na dva dela, tako da je deo do temena dva puta veći od drugog dela.

Trougao se u matematici deli na : pravougli, jednakokraki, jednakostranični i nejednakostranični.


Jednakostranični trougao je trougao kod koga su sve stranice jednake.
Centar opisane kružnice, centar upisane kružnice, ortocentar I težište se poklapaju.


Pravougli trougao ( c-hipotenuza, a i b – katete ) Pitagorina teorema. O Pitagorinoj teoremi cu pisati na kraju.
Pravougli trougao je trougao koji ima jedan prav ugao od 90o.
Centar opisane kružnice nalazi se na sredini hipotenuze.
Ortocentar se poklapa sa temenom pravog ugla, a težište se nalazi na sredini hipotenuze.


Jednakokraki trougao je trougao kod koga su dve stranice jednake odnosno kod koga su kraci jednaki.
Uglovi na osnovici jednakokrakog trougla su jednaki


Nejednakostranični trougao je trougao kod koga su sve tri stranice nejednake. Jedna stranica trougla je manja od zbira I veća od razlike druga dva.


Četvorougao je mnogougao sa četiri jednake strane.
Zbir unurašnjih uglova četvorougla je 360o, a I zbir spoljašnjih uglova četvorougla je 360o. Obim četvorougla je zbir njegovih stranica


Paralelogram je četvorougao čije su suprotne stranice paralelne.
Suprotne stranice su ujedno i jednake, a takodje I suprotni uglovi su jednaki.
Zbir dva ugla koji leže na jednoj straniciiznosi 180o. Dijagonala paralelograma deli parallelogram na dva podudarna trougla.
Tačka preseka dijagonala paralelograma polovi svaku dijagonalu. Ova tačka je centar simetrije paralelograma.


Deltoid je četvorougao kod koga se dijagonale seku pod pravim uglom i kod koga su susedne stranice jednake.


Pravougaonik je četvorougao kod koga su unutrašnji uglovi jednaki i kod koga su naspramne stranice jednake. Dijagonale se polove i medjusobno su podudarne. Pravougaonik čine dve stranice a i b, pri čemu je površina pravougaonika jednaka proizvodu tih stranica. Visina pravougaonika takodje predstavlja i stranicu b.


Kvadrat je četvorougao sa jednakim stranicama, jednakim unutrašnjim uglovima i kome se dijagonale seku pod pravim uglom.
Dijagonale kvadrata su medjusobno normalne, podudarne i polove se


Romb je paralelogram kod koga su sve stranice jednake i kod koga se dijagonale seku pod pravim uglom. Drugim rečima romb je parallelogram kod koga su dijagonale medjusobno okomite.
Dijagonale romba su medjusobno normalne i polove se.


Trapez je četvorougao kod koga su naspramne stranice (osnovice) paralelne i kome je zbir susednih unutrašnjih uglova jednak 180 stepeni.
Jednakokraki trapez je trapez kod koga su bočne stranice (kraci) jednake.


Krug je geometrijska figura kod koje su sve tacke na kružnici podjednako udaljene od centra kruga. To rastojanje se naziva poluprečnik kruga.
Dužina obima kruga jednaka je proizvodu njegovok prečnika I broja (pi = 3.14).
Površina kruga jednaka je proizvodu broja pi I kvadrata poluprečnika.
Kružni isečak je deo kružne površi ograničem poluprečnicima OA, OB I
ukom l.
Dva koncentrična kruga koja pripadaju istoj ravni I čiji su poluprečnici r1 i r2 ograničavaju deo kružne površi koja se naziva kružni prsten.
Površina kružnog prstena jednaka je razlici površina njegovih krugova.


Centralni i periferijski ugao kruga

Ugao čije je teme centar kruga naziva se centralni ugao.
Svaki ugao čije teme pripada nekoj kružnici, a kraci sadrže tetive te kružnice, naziva se periferijski ugao.
Centralni ugao je dobio naziv po tome što mu je teme centar kruga, a kraci sum u poluprečnici.
Periferijski ugao jednak je polovini centralnog ugla nad istim lukom.
Periferijski uglovi nad istim lukom (tetivom) u istom krugu su jednaki.
Ugao koji obrazuje tangenta kruga sa tetivom istog kruga, čija je jedna krajnja tačka dodirna tačka tangente, jednak je periferijskom uglu nad tom tetivom, čije teme leži u oblasti posmatranog ugla.
Tetivni mnogougao je mnogougao oko koga se može opisati kružnica, a tangentni mnogougao je mnogougao u koji se može upisati kružnica.




Geometrijska tela


Geometrijska tela su objekti u 3D prostoru. Dakle sem površine poseduju i zapreminu.Postoje obruta tela i poliedri kao dve vrste geometrijskih tela.


Obrnuta tela


Valjak – Valjak je geometrijsko telo ograniceno sa dva kruga u paralelnim ravnima I delom cilindricne povrsi, cije su izvodnice normalne na ravni tih krugova.
Krugovi su osnove valjka.
Omotac valjka naziva se deo cilindricne povrsi izmedju ravni osnova.
Visina valjka je duz normalna na osnove, sa krajnjim tackama u osnovama I najcesce se obelezava sa H.
Presek valjka I ravni kojoj pripada osa valjka naziva se osni presek valjka.
Povrsina valjka jednaka je zbiru povrsina osnova I povrsine omotaca.
Zapremina valjka jednaka je proizvodu povrsine njegove osnove I visine.


Kupa – Kupa je geometrijsko telo ograniceno jednim delom obrtne konusne povrsi I krugom.
Krug je osnova kupe.
Omotac kupe je deo konusne povrsi, a vrh konusne povrsi je ujedno I vrh kupe.
Normalna duz na osnovu, cije su krajnje tacke vrh kupe I centar osnove, naziva se visina H.
Odsecak izvodnice konusne povrsi od vrha S do osnove kupe naziva se izvodnica kupe. Takodje izvodnicom cemo nazivati I duzinu tog odsecka.
Sve izvodnice prave kupe su jednake.
Ako ortogonalna projekcija vrha kupe na raven njene osnove ne pada u centar njene osnove onda je to kosa kupa.
Povrsina kupe jednaka je zbiru povrsina osnove I omotaca.
Zapremina kupe jednaka je trecini proizvoda povrsine osnove I visine.


Lopta – Skup svih tacaka u prostoru jednako udaljenih od jedne tacke 0 prostora obrazuje povrs koja se naziva sfera.
Tacka 0 je centar sfere, a duz cije su krajnje tacke centar sfere I proizvoljna tacka na sferi nazivamo poluprecnik.
Duz koja spaja dve tacke na sferi I sadrzi centar sfere je precnik sfere.
Lopta je geometrijsko telo ograniceno sferom.
Centar sfere je ujedno I centar lopte, a poluprecnik sfere je takodje, istovremeno I poluprecnik lopte.
Dakle, skup svih tacaka unutrasnje oblasti sfere I svih tacaka sfere obrazuje loptu.
Lopta je odredjena svojim centrom I poluprecnikom.
Presek lopte I ravni je uvek krug. Ako toj ravni pripada centar lopte, preseceni krug se naziva veliku krug lopte.
Deo lopte koji odseca neka raven naziva se loptin isecak.
Deo sfere, koji zajedno sa osnovom loptinog isecka ogranicava taj odsecak naziva se kalota.
Kalota ciji je granicni krug veliki krug sfere naziva se polusfera, a loptin odsecak cija je osnova veliki krug lopte je polulopta.
Povrsina lopte jednaka je cetvorostrukoj povrsini njenog velikog kruga.
Zapremina lopte jednaka je trecini proizvoda njene povrsine I poluprecnika


M - omotac
P – povrsina
V – zapremina
B – povrsina osnove (baze)
R – precnik
R – poluprecnik


Poliedri


Pravilni poliedar je poliedar sa svim jednakim stranama (dodekaeder, ikosaeder, kocka, oktaeder, tetraeder)


Dodekaeder je pravilni poliedar sa 12 strana.
Ikosaeder je pravilni poliedar sa 20 strana.
Kocka je pravilni poliedar sa 6 strana.
Oktaederje pravilni poliedar sa 8 strana.
Tetraeder je pravilni poliedar sa 4 strane.



Prizma – Prizma je geometrijsko telo ogranicena sa dva paralelna I podudarna mnogougla I onoliko paralelograma koliko stranica ima jedan od tih mnogouglova.
Prizma može biti pravilna trostrana, pravilna šestostrana I pravilna četvorostrana.
Pravilna trostrana prizma je ona kod koje je bazis jednakostranični trougao.
Pravilna četvorostrana prizma je ona kod koje je bazis kvadrat.
Pravilna šestostrana prizma je ona kod koje je bazis pravilni šestougao.
Kvadar je prizma čiji je bazis pravougaonik.
Mnogouglove nazivamo osnove – baze prizme, a paralelogrami su bocne strane prizme. Bocne strane prizme obrazuju omotac prizme.
Visina prizme je duz koja je normalna na osnove prizme I cije krajnje tacke pripadaju ravnima osnova prizmi. Visinu najcesce obelezavamo sa H.
Ivice prizme su stranice mnogouglova.
One koje pripadaju osnovama nazivaju se osnovne ivice, a ostale ivice su bocne ivice prizme.
Dijagonala prizme je duz cije su krajnje tacke dva temena koja ne pripadaju istoj strain prizme. Dijagonalu prizme najcesce obelezavamo sa D.
Presek prizme I ravni kojoj pripadaju jedna ivica I dijagonala prizme naziva se dijagonalni presek prizme.
Povrsina prizme je zbir povrsina osnova I povrsina omotaca.
Zapremina prizme jednaka je prozivodu povrsine osnova I visine.
Prizma moze biti prava I kosa.
Prizma je prava ukoliko su bocne ivice prizme normalne na osnove prizme.
Ukoliko prizma nije prava kaze se da je kosa.


Piramida – Piramida je geometrijsko telo ograniceno delom jedne rogljaste povrsi I jednim mnogouglom.
Teme roglja S je vrh piramide.
Piramida može biti pravilna trostrana, pravilna četvorostrana I pravilna šestostrana.
Pravilna trostrana piramida je ona kod koje je bazis jednakostranični trougao.
Pravilna četvorostrana piramida je ona kod koje je bazis kvadrat.
Pravilna šestostrana piramida je ona kod koje je bazis pravilni šestougao.
Mnogougao koji pripada presecenoj ravni je osnova piramide, a stranice tog mnogougla su osnovne ivice piramide.
Odsecci ivica roglja su bocne ivice piramide a trouglovi odredjeni stranama roglja su bocne strane piramide.
Bocne strane piramide cine omotac piramide. Omotac piramide se najcesce obelezava sa M.
Duz normalna na osnovu piramide, cija je jedna krajnja tacka vrh piramide, a druga pripada ravni osnove, naziva se visina piramide I oznacava se sa H.
Prema broju stranica osnove razlikujemo trostrane, cetvorostrane, petostrane I dr…n-tostrane piramide.
Piramida je pravilna ako je njena osnova pravilan mnogougao I ako se podnozje njene visine poklapa sa centrom opisane kruznice oko osnove.
Kod pravilne piramide bocne strane su podudarni jednakokraki trouglovi.
Visina bocne strane pravilne piramide naziva se apotema.
Apoteme kod pravilnih piramida su jednake.
Povrsina piramide jednaka je zbiru povrsine osnove I povrsine omotaca.
Zapremina piramide jednaka je trecini proizvoda povrsine osnove o visine.



Autor : Alpinista, 30.04.2006
Izvor : sopstveno znanje, mnogobrojni internet sajtovi o matematici i brojni matematički časopisi.

• 1Ovo se svidja korisniku: mcrule
  
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Svaka cast na ulozenom trudu, samo tako nastavi

• 4Ovo se svidja korisnicima: aleksandar996, Fa7aL!tY, mcrule, Isidora01
  
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Poznati geometri


ALES


Rodjen je 620. god. p. n. e. u Mileti u uglednoj porodici i zivio je do 547. god. p. n. e. Prvi je nazvan mudracem,a bio je prvi na listi od sedam mudraca.
Nakon bavljenja drzavnim poslom dao se na proucavanje prirode. Bio je prvi filozof i naucnik, vjest moreplovac, trgovac itd.

Smatra se da se on prvi bavio proucavanjem astrologije i da je prorekao pomracenje Sunca jos 585. god. p. n. e.
Prvi je, takodje otkrio Suncevu putanju od obratnice do obratnicei, prema nekima prvi je izjavio da je velicina Sunca dvadeseti dio velicine Mjeseca. Prvi je, osim toga, zadnji dan u mjesecu nazvao trideseticom i prvi je raspravio o prirodi. Nije napisao ni jedno dijelo. Kao pocelo svega postavio je vodu i tvrdio je da je svijet ziv i pun bozanstva.
Otkrio je godisnja doba i godinu podijelio na tristo sezdeset i pet dana.Nije mu niko bio ucitelj, osim sto je dosavsi u Egipat boravio medju svestenicima.
Smatra se da je Tales prvi premjerio visinu piramida po njihovoj sjeni promotrivsi tacno kada je nasa sjena jednaka nama samima.
Prema drugima, on je sluzeci se slicnoscu pravouglih jednakokrakih trouglova izmjerio visinu Keopsove piramide.Naucivsi od Egipcana geometriju, prvi je upisao u kruznicu pravougli trougao.Smatra se da ideja o dokazivanju novih zakljucaka potice od Talesa.
Njemu se pripisuju dokazi mnogih teorema o :

jednakosti pravih uglova,
zatim da naspram jednakih stranica trougla leze jednaki uglovi,
da je u krugu periferijski ugao nad precnikom uvijek prav,
da su stranice slicnih trouglova proporcionalne itd.
Tales je izvedene zakljucke primjenjivao u praksi.


PITAGORA


Pitagora je rodjen 570.god. p.n.e. na ostrvu Samu i zivio je do 493.god. p.n.e.
Puno je putovao, a kasnije je zivio u Kratonu gdje je osnovao religiozno,moralno i naucno bratstvo nazvano po njemu Pitagorejski savez. NJegov zadatak je bio da svoje clanove moralno vaspita, da osjecaju muzikalno svijet, saznaju sustinu harmonije i ritma.
U tom savezu je vladala stoga disciplina i poslusnost prema Pitagori, a sve sto je taj savez postigao pripisivalo se njemu.
Pitagora je dosao do zakljucka da u osnovi svga u svijetu je oblik, dok njegova skola je smatrala da je to broj.

Sto se tice njegovog proucavanja smatra se da je matematicke znanosti naucio od Egipcana (geometrijom se bavili), Fenicana (brojevima i racunima) i Kalejaca (proucavali nebeski svod).
Samom Pitagori se pripisuju otkrica tajni brojeva i povezanosti strukture brojeva sa strukturama muzike i kosmosa.
Princip dokazivanja osobina je jos vise koristio i poboljsao ovaj poznati filozof i matematicar.
On je puno putovao i upoznao se sa mnogim saznanjima, koja je zatim podvrgao kritici i dokazivanju.
Tako je od Vavilonaca saznao, a zatim dokazao teoremu o pravouglom trouglu koja nosi njegovo ime.
On je uocio da se proucavanje teorema mora obaviti po logickom redosljedui smatra se da je on tvorac deduktivne metode, i to ne samo u geometriji, vec i u nauci uopste.
Pitagorina teorema glasi: Kvadrat na hipotenuzi jednak je zbiru kvadrata nad katetama kod pravouglog trougla.


EUKLID


Euklid je zivio u periodu od 330 - 275.god. p.n.e.
Bio je poznati grcki matematicar iz Atine kao i Platonov ucenik.
Zivio je i radio u Aleksandriji gdje je stvorio matematicku skolu.
Napisao je brojna djela, od kojih neka nisu sacuvana i poznata su samo po naslovu. Sacuvana djela su: "Elementi" ( geometrija kao nauka o prostoru) u 13 knjiga, "Data" ( o uslovima zadavanja nekog matematickog objekta), "Optika" ( sa teorijom perspektive), i dr.

U odnosu na druge naucne oblasti, geometrija je dostigla zavidan nivo oko 300.god. p.n.e. pojavom djela "Elementi".
Tada u matematici geometrija dominira, pa su i brojevi interpretirani geometrijski.
Euklid je pokusao da izlaganje bude stogo deduktivno i upravo zbog te dosljednosti "Elementi" su vjekovima smatrani najsavrsenijim matematickim djelom.
Mnoge generacije matematicara su i drugih naucnika su ucili iz ove knjige kako se logicki rasudjuje i novo povezuje sa ranije utvrdjenim cinjenicama.
Kasnije su "Elementi" analizirani i dopunjavani. Posebnu paznju su privlacile aksiome i postulati.
U ovoj knjizi su sadrzana sva saznanja i otkrica do kjih su dosli Eulid i njegovi prethodnici i savremeniciu geometriji, teoriji proporcija, teoriji brojeva i algebri.
Takodje, dokazane su i 464 teoreme na nacin koji je i danas besprijekoran.
On je proucavao truglove, krugove, poliedre, i dr.


ARHIMED


Arhimed je zivio u periodu od 287 - 212.god. p.n.e.
Bio je najveci matematicar, fizicar i mehanicar starog vijeka.
Ucio je u Aleksandriji, a potom je zivio u Sirakuzi.
Za vrijeme svog zivota odrzavao je stalnu prepisku sa aleksandrijskim matematicarima, pa su zahvaljujuci tome sacuvana neka njegova djela.
Iz njegove metode izracunavanja povrsine i zapremine lopte i valjka i izracunavanja obima kruga razvio se poslije 2000.god. integralni racun.

Prvi je odredio pribliznu vrijednost broja ¶ (3,14) i ocijenio odgovarajucu gresku.
Pronasao je zakone poluge, postavio osnove hidrostatike.
Za obranu Sirakuze od Rimljana konstruisao je ratne masine, a ubili su ga rimski vojnici.

Najvaznija njegova djela su: "O kvadraturi parabole", "O lopti i valjku", "O konoidima i sferoidima", "O mjerenju kruga", "O plivanju tijela", "Posamit" (racun sa pjescanim zrnima - sistem zapisivanja i imenovanja velikih brojeva, kao sto je broj zrnaca pijeska u vasioni), "O ravnotezi ravnih tijela u vasini", i dr.



izvor - znanje.org/

Dopuna: 10 Maj 2006 10:20

I posle svega ovoga obavezno pogledati Osnove Geometrije
matf.bg.ac.rs/~zlucic/Hilbert.pdf

Dopuna: 16 Maj 2006 23:59

Takodje pogledati i šta wikipedia kaže o Geometriji
en.wikipedia.org/wiki/Geometry

Dopuna: 17 Maj 2006 0:01

Table of Geometry, Cyclopaedia

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

svaka cast
pozzz za sve

Dopuna: 05 Jun 2007 23:28

vi ste sjajni

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Treba mi neki sajt sa geometrijskim zakonima...Ne formulama... help me PLEEAAASEEE!!!

• 1Ovo se svidja korisniku: Halchy
  
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Nov sam na ovom sajtu i prvi put se javljam. Hteo bih da pohvalim autora o uvodnim pojmovima iz Geometrije. Svi elementi su jasno prikazani , precizni i laki za razumevanje i korišćenje. Autor ima predavačkog duha i šteta,(ako već nije) autor i udžbenika za srednje škole iz ove oblasti. Čestitam

• 1Ovo se svidja korisniku: mcrule
  
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Ovaj prvi tekst mi je stvarno pomogao u vezi jedne zadaće u srednjoj ... Hvala puno

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Možel pomoć oko ovog zadatka :
Izrazi u stepenima i radijanima jedan ugao pravilnog : a) petougla b) osmougla

• 1Ovo se svidja korisniku: mcrule
  
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Unutrasnji ugao n-tougla se racuna po formuli:
alfa = (n-2)*180/n ako je alfa u stepenima, ali lako je videti da je alfa = (n-2)*pi/n u radijanima(pi radijana je 180 stepeni).
dakle za n = 5 dobijes:
alfa = 108 stepeni = 3*pi/5 radijana
za n = 8
dobijes:
alfa = 135 stepeni = 3*pi/4 radijana.

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Možel pomoć:
Visina koja odgovara kraku jednakokrakog trougla obrazuje sa osnovicom ugao delta.Izraziti pomoću delte sve spoljasnje i unutrasnje uglove trougla.