offline
- Pridružio: 16 Mar 2010
- Poruke: 160
|
PRIMENA DIRIHLEOVOG PRINCIPA U REŠAVANJU ZADATAKA
(Dodatna nastava VI razred)
Miroslav B Mladenović Mirac
OŠ "Braća Milenković" selo Šišava-lomnica
Vlasotince, Srbija
mmirac@ptt.rs
Sažetak:-Postoje zadaci koje je teško razvrstati po mtipologiji u matematici; ali su veoma korisni da se rešavaju kao vežbu razvijanja logičkog mišljenja,
U rešavanju različitih problema, naročito za dikazivanje postojanja objekata koji imaju neke određeno(traženo) svojstvo, često se veoma uspešno primenjuje takozvani Dirihleov princip.
Dirihleov princip se često iskazuje u raznim popularnim, čak I šaljivim formulama_kao:"zečeva I kaveza". U nešto ozbiljnoj formi, Dirihleov princip se često I iskazuje "principom kutija". Postoji I matematička osnova ovog principa, ali učencima šestog razreda ostaju ova predhodna obeležja ovog matematičkog principa.
Dirihleov princip nije baš tako lako primenjivati pri rešavanju zadataka. Za ovo je potrebna veština u raščlanjivanju uslova zadatka I klasifikaciranje posmatranih predmeta, tojest potrebna je odgovarajuća "priprema" zadataka pre nego što stupi u dejstvo "princip kutija".
Iz svog rukopisa ODABRANILOGIČKI ZADACI (Dirihleov princip) pisanog za jedan naučni skup(nije izlagan zbog određenih okolnosti)-izvršio sam izbor raznolikih zadataka u metodskom smislu primene Dirihleovog principa u rešavanju odabranih logičkih zadataka za učenike šestog razreda koji se ističu u nastavi matematike za čas dodatne nastave.
Uvod
Najaktivniji deo moga stvaralačkog rada je bio u vremenu od 1995. godine do 2002. godine u pogledu rada sa obdarenom decom u nastavi matematike osnovne škole.
Koristeći razne zbirke zadataka i matematičke listove, u 1995/96 godini sam napisao veliki broj članaka: šestog, sedmog i osmog razreda za časove dodatne nastave po programu nastavnog plana i programa za dodatnu nastavu republike Srbije.
Ovom prilikom biće iskazan članak primene Dirihleovog principa u rešavanju logičkih zadataka u šestom razredu u dodatnoj nastavi matematike.
Postoje zadaci koje je teško svrstati u bilo koji određeni deo matematike, pa prosto služe kao vežba za razvijanje logičkog mišljenja. Najčešće se pri njihovom rešavanju mora dokazati postojanje objekata koji imaju određeno svojstvo.
Da bi se dokazalo da svi objekti uočenog skupa poseduju neka svojstva P, potrebno je dokazati da to svojstvo poseduje svaki od tih objekata. Da bi se, pak, ta tvrđenja opovrgla, dovoljno je utvrditi da bar jedan od posmatranih objekata nema to svojstvo. Kaže se da je pronađen kontraprimer.
Ima slučajeva da je veoma teško pronalaženje kontraprimera-primera koji opovrgava opšte tvrđenje. Često je lakše dokazati da odgovarajući primer postoji nego ga pronaći.
Na primer, ako je poznato da je grupa od 30 učenika dobila 31 svesku, pri čemu je svaki učenik dobio bar jednu svesku, onda je očigledno neki od njih dobio dve sveske.
Ovde je važna sama činjenica da postoji takav učenik koji je dobio dve sveske, a ne interesuje nas koji je to učenik poimenično. Zbog toga u ovom slučaju ne bi bila tačna tvrđnja da je svaki učenik dobio tačno po jednu svesku. Takav metod se često koristi u rešavanju zadataka.
U rešavanju različitih problema, naročito za dokazivanje postojanja objekata koji imaju neko određeno (traženo) svojstvo, često se veoma uspešno primenjuje takozvani Dirihleov princip (P.G.L. Dirichet, francusko-nemački matematičar 1805-1859), koji izražava jedno od osnovnih svojstava konačnih skupova.
Pricip:"zečeva i kaveza"
Dirihhleov princip se najčešće iskazuje u raznim popularnim, čak I šaljivim formulama-kao: "problem zečeva i kaveza", on glasi:-Ako imamo 7 zečeva I 5 kaveza(ili uopšte, m zečeva i k kaveza, pri čemu je m veće od k) I sve zečeve razmestimo u date kaveze, onda mora postojati kavez u koji će biti smeštena bar 2 zeca.
Pretpostavljamo da ne postoji takav kavez u kome su 2 zeca. Onda je u svaki od kaveza smešteno najviše po 1 zec, tako da je ukupan broj smeštenih zečeva u ovom slučaju nije veći od 1.5=5 zečeva, a ima ukupno 7 zečeva, što je protivurečno našoj pretpostavci. Znači da postoji kavez u koji će biti smešten bar 2 zeca.
"Princip kutija"
U nešto ozbiljnoj formi, Dirihleov princip se iskazuje "principom kutija".
1.)Zamisli da imaš 308 kutija I 925 klikera u njima, onda će u nekoj od kutija biti bar 4 klikera. Da bi smo se uverili u to, razmišljaćemo ovako: ako bi u svakoj kutiji bilo najviše po tri klikera, onda ne bi bilo više od 308.3=924 klikera u kutijama.
Uveri se u u tačnost sledećih tvrđenja:
19 Ako je u 261 kutija stavljeno 1045 klikera, onda postoji kutija u kojoj je bar 5 klikera.
2) Ako je 1522 kutije stavljeno 7 611 klikera, onda postoji kutija u kojoj je bar 6 klikera.
Ako sa k označimo broj kutija (ili kaveza), onda se predhodna tvrđenja mogu upisati u tablicu:
k broj klikera Postoji kutija u kojoj ima klikera bar
5 5.1+2=7 1+1=2
308 308.3+1=325 3+1=4
261 261.4+1=1045 4+1=5
15522 1522.5+1=7611 5+1=6
Na osnovu tablice, sledeća tvrđenja iskazuju Dirihleov princip ("Princip kutija"):
-Ako je u k kutija stavljeno više od k , n+1 kliker, onda postoji kutija u kojoj ima bar n+1 kliker. (U našoj tablici je, redom k=5 I n=2, k=308 I n=3, k=261 I n=4, k=15522 I n=5).
Ili ovako:
-Ako je u k kutija smešteno više od k predmeta, onda će bar u jednoj kutiji biti više od jednog predmeta.
Matematička osnova principa
Matematička osnova ovog principa je sledeća:
-Ako su A i B dva neprazna i k(A)=m(k-kardinalni broj ili broj elemenata skupa), k(B)=n, pri čemu je m veće od n, onda ne postoji 1-1 preslikavanje između A i B.
Drugim rečima, ma kakvo da je preslikavanje A u B (pri navedenoj oretpostavci), postoji bar jedan element skupa B koji je slika od najmanje dva elemenata iz skupa A( To preslikavanje se može prikazati Venovim dijagramom skupaA u skup B).
Tvrđenje u Dirihleovom principu nameće određeni način (shemu) rasuđivanja, koji se uspešno može primeniti i u situacijama koje, bar nanaizgled, nemaju nikakve veze sa nekakvim zečevima i kavezima, kuglicama i kutijama i sl.
Bez obzira na njegovu neposrednu očiglednost, Dirihleov princip nije baš tako lako primenjivati pri rešavanju zadataka.
Za ovo je potrebna određena veština u raščlanjivanju uslova zadataka i klasifikovanja pomatranih predmeta, tojest potrebna je odgovarajuća "priprema" zadataka pre nego što stupi u dejstvo "princip kutija".
Zadaci koji se mogu rešavati uz pomoć Dirihleovog principa, ne zahtevaju neka naročita matematička znanja, mada se na prvi pogled čine neobičnim, pa zato I teškim.
Zasnivaju se većina na zdravom smislu, te je najvažnije pravilno shvatiti smisao zadataka i rasuđivati postupno i logički.
Zadaci
1.) Zadatak:
-a) Može li se tvrditi da u odeljenju od 34 učenika sigurno postoje bar dva učenika čija prezimena počinju istim slovom?
b) A ako bi u odeljenju bilo 29 učenika?
R e š e nj e:
- Ovde "zečeve" predstavljaju učenici (ima ih 34), a "kaveze"-slova azbuke (ima ih 30).
a) U najnepovoljnom slučaju, za prezimena prvih 30 učenika biće "zauzeto" svih 30 slova, pa prezimena ostalih učenika (ima ih 4) moraju počinjati nekim od već "zauzetih" slova. Onda ovo znači da u odeljenju nasigurno postoje učenici (bar dvojica) čija prezimena počinju istim slovom.
b) Ne.
2.) Zadatak:
-Tri vrste svezaka je spakovano u 25 kutija tako da u svakoj kutiji se nalaze sveske iste vrste. Da li postoji 9 takvih kutija da su sve sveske u njima iste vrste?
R e š e nj e:-Zamislimo da imamo 3 velike kutije. U svakom od njih stavimo kutije sa sveskama, ali tako da su u bilo kojoj velikoj kutiji sve sveske iste vrste.
Sad zamislimo da su kutije sa sveskama "klikeri". Znači imamo 3 velike kutije i u njima 25 "klikera".
Po Dirihleovom principu ("klikera" ima 3.8+1) u jednoj od velikih kutija ima ima bar 9 "klikera", tojest u jednoj od velikih kutija ima bar 9 kutija sa sveskama iste vrste.
3) Zadatak:
- Dokazati da u školi sa 735 učenika najmanje 3 učenika imaju rođendan istoga dana?
R e š e nj e:
-Pošto godina ima 365(366) dana, a u školi je 735 učenika, onda prema Dirihleovom principu ("klikera" odnosno učenika ima 365.2+5 ili 366.2+3) onda u školi od 375 učenika postoji najmanje bar 3 učenika koji imaju rođendan istog dana.
4) Zadatak:
- U razredu ima 30 đaka i svi su radili test. Jedan od njih, Aca, napravio je 13 grešaka (može biti samo toliko) radeći test. Ostali su napravili manje grešaka. Dokazati da su bar 3 đaka napravila isti broj grešaka(može biti nijedna).
R e š e nj e:
- Zamislićemo da imamo 14 kutija i da su na njima napisani brojevi 0,1,2,3,...13. U kutiju označenu sa 0(nula) grešaka, stavljamo sve testove u kojima je bilo nula grešaka, u kutiju označenu sa 1 stavljamo sve testove u kojima je bilo 1 greška. Takav postupak se nastavlja do kutije sa brojem 13-biće Acin test.
Zadatak će biti rešen ako dokažemo da se u nekoj kutiji nalaze bar tri testa.
U kutiji sa brojem 13 nalazi se samo Acin test, pa zato posmatramo preostale kutije. Primenimo Dirihleov princip: ako bi u svakoj od preostalih kutija bilo po najviše po dva testa, onda bi u njima bilo najviše 2.13=26 testova. Računajući i Acin test, dobijamo da ukupno ima 27 testova, što nemože biti, jer ima 30 đaka, a svi su radili test. Prema tome, u nekoj od kutija nalazi se bar 3 testa.
5) Zadatak:
- U jednoj osmogodišnjoj školi u svakom razredu ima po 4 odeljenja, a ukupan broj učenika je 111. Dokazati da postoji odeljenje u kome uči bar 35 učenika(Opštinsko takmičenje mladih matematičara Srbije, 3 mart 1990. godine).
R e š e nj e:
- U školi ima 4.8=32 odeljenja. Međutim 111:32=34 i ostatak 23, pokazuje na osnovu Dirihleovog principa, da u nekom odeljenju sigurno ima bar 35 učenika.
6) Zadatak:
- U kutiji se nalaze 10 crvenih, 8 plavih i 8 zelenih olovaka i 4 žute olovke. U mraku izvlačimo olovke. Koliko najmanje olovaka moramo izvući da bismo bili sigurni da je među njima: a) ne manje od 4 olovaka iste boje? B) bar po jedna olovka svake boje? V) ne manje od 6 plavih olovki?
R e š e nj e:
-a) Primetimo da su olovke u 4 različite boje. Ako izvučemo 4 olovke može se desiti da su one različite boje. Znači, nije dovoljno izvući 4 olovke. Izvlačimo još dva puta po 4 olovke. Najgora mogućnost je da su od izvučenih 12 olovaka 3 crvene, 3 plave, 3 zelene i 3 žute olovke.
Ako izvučemo još jednu olovku, onda ćemo biti sigurni da su među izvučenim olovkama bar 4 olovke iste boje (Dokaži to, korusteći Dirihleov princip!).
b) Kad izvučemo nekoliko olovaka, može se se desiti da sve one budu iste boje. Znači, može se desiti da prvo izvučemo svih 10 crvenih olovaka. Isto tako, u najgorem slučaju, može se desiti da smo izvukli Iisve plave i zelene olovke-ukupno njih 26. Ako izvučemo još jednu olovku (ona će biti žuta, jer su u kutiji ostale samo žute), onda će među izvučenim olovkama biti bar po jedna olovka svake boje. Prema tome, dovoljno je izvući 27 olovaka( dokaži to primenom Dirihleovog principa!).
v) Da bismo bili sigurni da smo izvukli ne manje od 6 plavih olovaka, izvući ćemo iz kutije sve olovke sem dve, tojest izvući ćemo 28 olovaka.
Nije dovoljno izvući 27, jer ako izvučemo samo 27 olovaka, može se desiti da smo izvukli 10 crvenih, 5 plavih, 8 zelenih i 4 žute.
Literatura
1. Dr M. Ilić-Dajović, Dr V. Mićić, Dr A. Zelić, Mr M. Mrmak, Mr LJ. Čukić, J. Vukadinović, B. Đerasinović, Mitrović: Matematički priručnik za dodatnu nastavu V-VI razred osnovne škole, Zavod za udžbenike i nastavna sredstva, Beograd 1980. godine
2. Bogoljub Marinković: Dirihleov princip, sa zbirkom zadatkaa, arhimedovi materijal za mlade matematičare, sveska 30, "Arhimedes", Beograd 1990.godine
Novembar 1995.godine
Miroslav B Mladenović
OŠ "Braća Milenković" selo Šišava-lomnica
Vlasotince, Srbija
Novembar 1995.godine
Miroslav B Mladenović
OŠ "Braća Milenković" selo Šišava-lomnica
Vlasotince, Srbija
28. mart 2010. godine Vlasotince Sebija
|
