lopta upisana u kupu,pomoc?

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

U datu pravu kupu upisana je lopta,pri cemu je odnos visine kupe i poluprecnika lopte jednak 4:1.Odnos zapremine kupe i lopte je:
Znam da je odgovor 2:1 , ali kao su dosli do toga?

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Jeste 1/2.
- Neka je r poluprecnik lopte, tada je zapremina lopte
Vl=4*pi*r^3/3

- Neka je R poluprecnik osnove kupe i H visina kupe, zapremina kupe
Vk=pi*R^3*H/3

- skracivanjem zapremina dobijamo r^2/R^2

Dalje, pogledajmo poprecni presek kupe sa upisanom loptom.
Uocimo sledece tacke:
A-centar osnove kupe
B-Presek ivice kupe i osnove
C-vrh kupe
D-tacka dodira lopte i kupe
E-centar lopte

Trouglovi ABE i BDE su identicni (r, zajednicka hipotenuza i prav ugao),
sledi da je BD=R.
U CDE neka je DC=x. Imamo:
x^2+r^2=(3*r)^2, sledi
x=2*r*sqrt(2)

U trouglu ABC imamo
(4*r)^2+R^2=(2*r*sqrt(2)+R)^2
sledi
r/R=sqrt(2)/2, tj

r^2/R^2=1/2
a to je odnos zapremina