|
Kad sve prebacimo na levu stranu, imaćemo kvadratnu jednačinu
(2a-1)x² - (a+1)x - 3a < 0
Pošto a∈(1,2), koeficijent uz kvadratni član, (2a-1), uvek će biti pozitivan, tako da će kvadratna funkcija imati teme okrenuto nadole. Prema tome, da bi postojale vrednosti x za koje ova funkcija ima vrednost manju od nule, potrebno je, pre svega, da ova funkcija seče x-osu u dvema tačkama, tj. da diskriminanta bude strogo veća od nule, što se lako može proveriti:
D = (a+1)²+12a(2a-1)
D = a²+2a+1+24a²-12a
D = 25a²-10a+1
D = (5a-1)²
Ovaj izraz će biti veći od nule za svako a koje nije jednako 1/5, a pošto imamo uslov da a∈(1,2), uslov da je diskriminanta strogo veća od nule je zadovoljen.
Da bi nejednakost bila zadovoljena za svaki paramatar a∈(1,2), potrebno je da se x nalazi u intervalu određenom nulama za bilo koju vrednost parametra a∈(1,2).
Nule funkcije su:
x₁,₂ = (a+1±√D)/2(2a-1)
x₁,₂ = [a+1±(5a-1)]/2(2a-1)
x₁ = [a+1-(5a-1)]/2(2a-1)
x₁ = [-4a+2]/2(2a-1)
x₁ = -1
x₂ = [a+1+(5a-1)]/2(2a-1)
x₂ = 6a/2(2a-1)
x₂ = 3a/(2a-1)
Znači, donja granica za x da bi nejednakost bila zadovoljena je -1 bez obzira koliki je parametar a, a gornju granicu određujemo kao minimalnu vrednost izraza 3a/(2a-1) za a∈(1,2). Taj izraz možemo napisati kao 3/(2-1/a). On će biti minimalan kada je (2-1/a) maksimalno. (2-1/a) će biti maksimalno onda kada je 1/a minimalno, a 1/a će, opet, biti minimalno onda kada je a maksimalno, tj. 2.
Znači, gornja granica za x će biti 3⋅2/(2⋅2-1), a to je 2.
Znači, za x∈(-1,2) nejednakost će biti zadovoljena za svako a.
|
