|
Dobrodosla bi mi pomoc oko ovog zadatka. Odrediti maksimalne ideale u prstenu celih brojeva.
Da li je sledece resenje ispravno?
Ideal I prstena Z je maksimalan ako i samo ako je I = (p), gde je p prost broj. Dokazimo.
Prvi smer: Ako je ideal prstena celih brojeva maksimalan onda je on generisam prostim brojem.
Svaki ideal prstena celih brojeva je generisan nekim nenegativnim celim brojem n. Ako je I= nZ maksimalan ideal onda je Z/nZ polje. Preslikavanje f sa Z na Zn(n u indeksu), definisano sa f(k)= [k]n je epimorfizam prstena. Jezgro ovog preslikavanja je nZ. Na osnovu prve teoreme o izomorfizmima imamo da je Z/nZ izomorfno Zn(n u indeksu). Zn(n u indeksu) je polje ako i samo ako je n prost broj. Dakle, ako je I maksimalan onda je on generisan prostim brojem.
Drugi smer: Ako je ideal prstena celih brojeva generisan prostim brojem onda je on maksimalan.
Neka je pZ=(p) ideal u Z generisan prostim brojem p. Tada je Z/pZ izomorfno Zp(p u indeksu) polje, pa je pa je pZ maksimalan ideal. Dakle, ako je I generisan prostim brojem onda je on maksimalan.
Isto tako me zanima da li se 'Svaki ideal prstena celih brojeva je generisan nekim nenegativnim celim brojem n.' dokazuje na sledeci nacin: Ideal je potprsten,a svaki potprsten u prstenu celih brojeva je oblika nZ za neki nenegativan ceo broj n. Sledi da svi ideali imaju oblik nZ. Sa druge strane potprsten nZ je ideal generisan brojem n.
|
