offline
- higuy
- Legendarni građanin
- penzionisani tabijatlija
- crni hronicar
- Pridružio: 21 Apr 2010
- Poruke: 8565
- Gde živiš: Dubocica
|
Citat:Uzmimo da želimo da nađemo kvadratni koren broja 2754,1504:
2754,1504−−−−−−−−√
Broj izdelimo na klase od po dve cifre, od decimalnog zareza nalevo, isto tako i od decimalnog zareza nadesno:
27|54,|15|04−−−−−−−−−−√=
Prvo posmatramo par cifara krajnje leve klase, 27. Postavljamo pitanje – koji je najveći prirodan broj koji, dignut na kvadrat, daje broj koji je manji ili jednak 27? To je broj 5, jer on dignut na kvadrat daje 25, koji je manji od 27 (jer već sledeći prirodan broj, 6, dignut na kvadrat bi dao 36, što je veće od 27).
Desno od znaka jednakosti pišemo taj broj, tj. 5, a ispod para cifara 27 pišemo kvadrat dobijenog broja, tj. 25.
27|54,|15|04−−−−−−−−−−√=5
25
Sada od 27 oduzimamo 25 i rezultat, 2, zapisujemo ispod; u produžetku dopisujemo dve cifre iz sledeće klase, u ovom slučaju 54:
27|54,|15|04−−−−−−−−−−√=5
25−−
254
zatim dopisujemo znak jednako, a desno od njega dosadašnji rezultat, 5, pomnožen sa 2, a to je 10:
27|54,|15|04−−−−−−−−−−√=5
25−−
254=10_⋅_
i postavljamo pitanje: koja je najveća cifra koja može biti dopisana broju 10, pa da tako dobijeni broj, pomnožen tom cifrom, daje rezultat koji je manji ili jednak broju 254?
Odgovor je 2, jer važi da je 102⋅2=204≤254, dok već za prvu sledeću cifru, 3, to ne bi važilo: 103⋅3=309, a to ne bi bilo manje ili jednako 254.
Prema tome, u prazna polja upisujemo cifru 2; takođe, u rezultat, desno od cifre 5, dopisujemo 2 i, pošto smo „obradili“ sve klase od po dve cifre levo od decimalnog zareza, sada posle ove dvojke u rezultatu pišemo decimalni zarez:
27|54,|15|04−−−−−−−−−−√=52,
25−−
254=102−⋅2−
Sada izvršimo množenje 102⋅2 i rezultat, 204, zapišemo ispod 254; zatim izvršimo oduzimanje tih brojeva:
27|54,|15|04−−−−−−−−−−√=52,
25−−
254=102−⋅2−
204−−−−
50
Dopisujemo par cifara iz sledeće klase (zanemarujući decimalni zarez), a to je 15:
27|54,|15|04−−−−−−−−−−√=52,
25−−
254=102−⋅2−
204−−−−
5015
zatim dopisujemo znak jednako, a desno od njega dosadašnji rezultat, 52, pomnožen sa 2, a to je 104:
27|54,|15|04−−−−−−−−−−√=52,
25−−
254=102−⋅2−
204−−−−
5015=104_⋅_
i postavljamo slično pitanje kao malopre: koja je najveća cifra koja može biti dopisana broju 104, pa da tako dobijeni broj, pomnožen tom cifrom, daje rezultat koji je manji ili jednak broju 5015?
Odgovor je 4, jer važi da je 1044⋅4=4176≤5015, dok već za prvu sledeću cifru, 5, to ne bi važilo: 1045⋅5=5225, a to ne bi bilo manje ili jednako 5015.
Prema tome, u prazna polja upisujemo cifru 4; takođe, u rezultat, desno od cifara 52 i decimalnog zareza, dopisujemo 4:
27|54,|15|04−−−−−−−−−−√=52,4
25−−
254=102−⋅2−
204−−−−
5015=1044−⋅4−
Sada izvršimo množenje 1044⋅4 i rezultat, 4176, zapišemo ispod 5015; zatim izvršimo oduzimanje tih brojeva:
27|54,|15|04−−−−−−−−−−√=52,4
25−−
254=102−⋅2−
204−−−−
5015=1044−⋅4−
4176−−−−−
839
Dopisujemo par cifara iz sledeće klase, a to je 04:
27|54,|15|04−−−−−−−−−−√=52,4
25−−
254=102−⋅2−
204−−−−
5015=1044−⋅4−
4176−−−−−
83904
zatim dopisujemo znak jednako, a desno od njega dosadašnji rezultat (zanemarujući decimalni zarez), 524, pomnožen sa 2, a to je 1048:
27|54,|15|04−−−−−−−−−−√=52,4
25−−
254=102−⋅2−
204−−−−
5015=1044−⋅4−
4176−−−−−
83904=1048_⋅_
i opet postavljamo pitanje: koja je najveća cifra koja može biti dopisana broju 1048, pa da tako dobijeni broj, pomnožen tom cifrom, daje rezultat koji je manji ili jednak broju 83904?
Odgovor je 8, pri čemu broj 10488 pomnožen cifrom 8 daje tačno broj 83904.
Prema tome, u prazna polja upisujemo cifru 8; takođe, u rezultat, desno od 52,4, dopisujemo 8:
27|54,|15|04−−−−−−−−−−√=52,48
25−−
254=102−⋅2−
204−−−−
5015=1044−⋅4−
4176−−−−−
83904=10488−⋅8−
Sada izvršimo množenje 10488⋅8 i rezultat, 83904, zapišemo ispod 83904; zatim izvršimo oduzimanje tih brojeva, čime kao rezulat dobijamo, naravno, nulu:
27|54,|15|04−−−−−−−−−−√=52,48
25−−
254=102−⋅2−
204−−−−
5015=1044−⋅4−
4176−−−−−
83904=10488−⋅8−
83904−−−−−−−
0
Pošto smo oduzimanjem dobili nulu, postupak je završen. Traženi rezultat je 52,48.
U slučaju da posle iskorišćenja svih cifara potkorene veličine ne dobijemo nulu prilikom oduzimanja, postupak ponavljamo tako što na broj čiji koren tražimo dopisujemo decimalne nule, koje, takođe, delimo u klase od po dve. Postupak ponavljamo ili dok kao rezultat oduzimanja ne dobijemo nulu, ili do neke zadovoljavajuće tačnosti.
Na primer, koren broja 3 (za koji znamo da će biti iracionalan) dobićemo tako što iza decimalnog zareza dopišemo niz nula i izdelimo ga u klase od po dve nule:
3,|00|00|00|00|⋯−−−−−−−−−−−−−−√=
I algoritam ponavljamo dok ne dobijemo rezultat s onolikim brojem decimalnih cifara koji će zadovoljiti tačnost koju tražimo.
http://forum.matemanija.com/viewtopic.php?f=46&t=317
|
