Linearna algebra, rotacija u 2D

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Citam knjigu "3D math primer for graphics and game developement" i malo-pomalo naletim na nesto sto mi nije jasno pa se gadno isfrustriram jer ne objasnjavaju kako treba.
Evo recimo:

Citat:
In 2D, we are restricted to rotation about a point. Since we are not considering translation at the
moment, we will restrict our discussion even further to rotation about the origin. A 2D rotation
about the origin has only one parameter, the angle, which defines the amount of rotation. Counterclockwise rotation is usually (but not always) considered positive, and clockwise rotation is
considered negative. Figure 8.5 shows how the basis vectors p and q are rotated about the origin,
resulting in the new basis vectors p' and q':



Now that we know the values of the basis vectors after rotation, we can build our matrix:



Odakle/po kom pravilu je izvuceno da za p basis vector x = cosO i y = sinO ?
A za q x = -sinO y = cosO? Zasto sad - minus?
Kako neko da nauci nesto na ovaj nacin?

Hvala na izdvojenom vremenu.

• 1Ovo se svidja korisniku: morando
  
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Napisano: 07 Jun 2013 17:47

Za koordinate vektora p' je dovoljno poznavati trigonometrijski trougao.
Sinus je odnos naspramne katete i hipotenuze, pa je naspramna kateta jednaka proizvodu |p'|*sinΘ. Kako je uzeto da je p' jedinični vektor (njegov moduo jednak je jedinici), naspramna kateta (a to je inače njegova y koordinata) je jednaka samo sinusu ugla Θ.
Kosinus je odnos nalegle katete i hipotenuze, a ostalo razmatranje je potpuno isto kao i za sinus.

Kosinusna i sinusna funkcija su maltene iste funkcije pomerene za ∏/2. Dakle, cosΘ = sin(Θ-∏/2) i cos(Θ+∏/2) = -sinΘ.

Kosinusna funkcija je parna pa je cos(-Θ) = cosΘ, dok je sinusna funkcija neparna pa je sin(-Θ) = -sinΘ.

Kako je argument vektora q' ustvari Θ + ∏/2, sve je u redu.

Dopuna: 07 Jun 2013 17:50

Evo nekoliko identiteta:

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Evo citam po ne znam koliko puta sta si napisao i ne kapiram.
Sto se tice pravouglog trougla znam za sohcahtoa sinonim:
sin a = o / h
cos a = a / h
tan a = o / a
Ako ti nije problem sa malo vise detalja, recimo da pocnemo od vektora p [1, 0].
Znaci imam naleglu katetu (x duzine 1), naspramnu (y duzine 0) i dat je neki ugao a da bih dobio novi vektor p', znaci:

cos a = px / h

Kako da delim kad je py = 0? Moja greska, treba h kao hipotenuza.
Sad mi tek nista nije jasno, koja komponenta vektora predstavlja koji deo trougla?

EDIT: Sad tek vidim sliku sto si stavio. Ne razumem sta je "svodjenje", ne kapiram tabelu o cemu se radi?
Znam sta je "prvi kvadrant", to je gornji desni deo koordinatnog sistema?

Citat:
Kosinusna funkcija je parna...

Za koju funkciju se kaze da je parna?

Hvala na razumevanju i izdvojenom vremenu.

• 2Ovo se svidja korisnicima: iCho, morando
  
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Uh, mnogo pitanja a malo vremena.

Pre svega, ne bih počinjao od vektora p jer on sa x-osom ne obrazuje trougao pa i nije baš reprezentativni primer. Dakle, uzmimo za primer vekotor p'. Kao što se vidi sa slike, taj vektor sa pozitivnim delom x-ose zaklapa ugao Θ. Posmatrajmo sada samo taj vektor zasebno:



Oznake nisu baš iste, ali je bitna suština. Dakle, na slici koju sam okačio se nalazi vektor r, čiji je argument ugao ϕ. Dakle, svaki vektor se u ravni može predstaviti pomoću dva parametra, svog modula ("dužina", intenzitet vektora) i svog argumenta (ugao koji zaklapa sa pozitivnim delom x-ose).

Trigonometrija kaže da važe sledeće jednakosti:
cosϕ = x/r => x = r*cosϕ
sinϕ = y/r => y = r*sinϕ

Dakle, to je odgovor na prvo pitanje.

Sada, ako želiš samo da zarotiraš vektor oko koordinatnog početka, jedino što treba da uradiš jeste da mu promeniš ugao, tj. argument, dok moduo vektora ostaje isti.

Što se tiče svođenja na prvi kvadrant, fora je u tome da sinus ili kosinus bilo kog ugla možeš uz određene transformacije da svedeš na neki ugao iz intervala [0, ∏/2], tj. na ugao iz prvog kvadranta (jeste, gornji desni deo, gde su i x i y pozitivni ).

Funkcija je parna kada važi: f(-x) = f(x)
Grafik parne funkcije je simetričan u odnosu na y-osu.

Funkcija je neparna kada važi: f(-x) = -f(x)
Grafik neparne funkcije je simetričan u odnosu na koordinatni početak.

Kao što pomenuh, kosinus je parna funkcija, a sve ostale trigonometrijske funkcije su neparne.


Dakle, ono što je bitno jeste da je referentna osa agrumenta vektora x-osa, i to njen pozitivni deo.
Posmatraj sada vekotor q'. Njegov stvarni argument je Θ+∏/2:



Crvenom je označen ceo ugao, plavom je označen ugao od ∏/2. Dakle, njegova x koordinata je po svemu navedenom (pogledaj identitete koje sam prve pomenuo, a pogledaj i tabelu koju sam okačio):

x = cos (Θ+∏/2) = -sinΘ

Njegova y koordinata je:

y = sin(Θ+∏/2) = cosΘ


Sve u svemu, na netu imaš koliko hoćeš literature, i na našem jeziku. Postoji na Vikipediji dobar članak o trigonometrijskim funkcijama, gde je dobar deo obrađen. Suština je da razumeš trugonometrijski krug (trougao pre svega), a nakon toga sve ide lakše.

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Mora da sam idiot, cim ovo i dalje ne kapiram.
U ovom primeru je dat veoma mali ugao tako da je prvi vektor r ostao u prvom kvadrantu pa moze da se formira pravougli trougao. Sta ako je sam ugao veci od Pi/2 ? Da li to onda menja koje trig funkcije se koriste?

Citat:
cosϕ = x/r => x = r*cosϕr

Ne razumem zasto je x prebaceno sa leve strane kad je r nepoznato?
Ili se podrazumeva da duzina vektora r = 1?

Citat:
Funkcija je parna kada važi: f(-x) = f(x)
Grafik parne funkcije je simetričan u odnosu na y-osu.

Ovo mislim da razumem. Znaci vraca istu vrednost nezavisno da li je parametar pozitivan ili negativan? Odnosno uzima njegovu absolutnu vrednost?

Citat:
Funkcija je neparna kada važi: f(-x) = -f(x)
Grafik neparne funkcije je simetričan u odnosu na koordinatni početak.

Ovo ne razumem, ne vidim nikakvu ravan da bih video simetriju.

U kojoj sprezi/dometu su vrednosti trigonometrijskih funkcija (mislim na njihov rezlutat)?
I sta tacno reprezentuje taj rezlutat?

Citat:
Sve u svemu, na netu imaš koliko hoćeš literature, i na našem jeziku.

Da li mi verujes da su mi tutorijali na srpskom vise nerazumljivi nego na engleskom.

Citat:
Postoji na Vikipediji dobar članak o trigonometrijskim funkcijama, gde je dobar deo obrađen.

Po meni Vikipedija je veoma los izvor informacija. Prvo treba imati dobro predznanje iz neke predhodne oblasti da bi znao oblast koju opisuju, a kad bih to vec znao onda ne bih ni imao potrebe da i citam istu. Tako da sluzi samo da dokaze neki koncept (meri duzinu autorove kobasice) umesto da nauci nekog nesto.

Veoma sam ti zahvalan na pomoci ali mi je i dalje sve ovo nekako mutno pa zato imam puno pitanja. Ako imas neki text koji bi preporucio da procitam da bih bolje razumeo ovu temu postavi link.
Hvala na razumevanju i vremenu.

• 1Ovo se svidja korisniku: morando
  
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Potraži na netu nešto o trigonometrijskom krugu, i kako se očitavaju trigonometrijske jednačine sa njega. Dobićeš odgovor na više pitanja.

Pogledaj ovde:
http://www.orolic.com/index.php/trigonometrijski-krug.html
http://www.orolic.com/index.php/trigonometrijske-jednacine.html

Ovo je sajt mog profesora matematike, naravno, ovde nema teorije, ali je aplet odličan za razumevanje.

• 1Ovo se svidja korisniku: morando
  
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

U prvom citatu je poslednje r višak. Ispravio sam to u postu.

Nisi idiot, samo ne čitaš pažljivo. morando ::Sta ako je sam ugao veci od Pi/2 ? Da li to onda menja koje trig funkcije se koriste?Citat:Što se tiče svođenja na prvi kvadrant, fora je u tome da sinus ili kosinus bilo kog ugla možeš uz određene transformacije da svedeš na neki ugao iz intervala [0, ∏/2].Dakle, vektor nije u prvom kvadrantu, tu ga svedeš na neki vektor iz prvog kvadranta.

Kada shvatiš trigonometrijski krug, videćeš da ti te transformacije uopšte neće biti neophodne. No, i to je jedan od načina rešavanja problema sa trigonometrijom.
morando ::Ne razumem zasto je x prebaceno sa leve strane kad je r nepoznato?
Ili se podrazumeva da duzina vektora r = 1?Opet mašiš. Intenzitet vektora sa slike koju si okačio je 1, ali to nije opšti slučaj. Dakle, intenzitet može da bude bilo koja vrednost (pozitivna, naravno, intenzitet ne može da bude negativan). x nije prebačeno nigde, ostalo je gde je i bilo. Prebačeno je r. No, to je svakako samo prikaz relacija između određenih veličina. Dakle, kada imaš dve poznate, lako odrediš treću, koja god da je.
Citat:Znaci vraca istu vrednost nezavisno da li je parametar pozitivan ili negativan? Odnosno uzima njegovu absolutnu vrednost?"Programerski" posmatrano, to oko apsolutne vrednosti mu dođe tako. Sa aspekta matematike to nije baš tako.
Citat:U kojoj sprezi/dometu su vrednosti trigonometrijskih funkcija (mislim na njihov rezlutat)?
I sta tacno reprezentuje taj rezlutat? cos i sin su ograničene od -1 do 1. Rezultat predstavlja odnos nalegle katete i hipotenuze, odnostno odnos naspramne katete i hipotenuze.

Svakako, loše smo počeli. Vidim da ne kapiraš suštinu, a ja ne znam pravi način da ti to približim, niti trenutno imam dovoljno vremena.

Ono što ti je neophodno jeste razumevanje trigonometrije. Kada to skapiraš, lako ćeš to moći da povežeš sa vektorima.