tangentni cetvorougao

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

da li neko moze da mi pomogne oko dokaza vezanog za tangentni cetvorougao?
dokaz glasi cetvorougao ABCD je tangetan akko je AB+CD=BC+AD.
meni nije bas najasniji drugi deo dokaza..uradim do pola i dalje ne znam..
ja sam radila ovako konstuisem krug i oko njega opisem cetvorugao ABCD gde samo tri stranice AB,DC,AD dodiruju cetvorugao i onda iz tacke C povucem tangentu na krug u dodirnoj tacki M..I onda iz prethodnog dela dokaza znam da je AB+CM=AM+BC a iz pretpostavke znam da je AB+CD=BC+AD i sredjivanjem te dve jednakosti dobijem CM=AM-AD+CD..i sad treba da dodjem do kontradikcije sa teoremom o nejednakosti trougla ali ja ne znam kako..i ne znam drugi deo kako kada vazi raspored tacaka A-D-M isto bi trebalo preko kontradikcije sa teoremom o nejednakosti trougla..
p.s hvala unapred

• 0Niko još nije pohvalio poruku.
  Registruj se da bi pohvalio/la poruku!

Citat:dokaz glasi cetvorougao ABCD je tangetan akko je AB+CD=BC+AD.
TEOREM: Četverougao je tangentan ako i samo ako su jednaki zbirovi njegovih naspramnih stranica.

Teorem je neophodno dokazati dvosmjerno (to vjerovatno znaš, tako da neću tu da se zadržavam).
Uglavnom prvi dio dokaza (=>) se odnosi na to da koristimo to da je četverougao tangentan, pa želimo pokazati da mu je zbir suprotnih stranica jednak. Poentu tog dijela si izgleda shvatio, mada ti i nije baš elegantan dokaz To je lakši dio dokaza teorema.

U drugom dijelu dokaza (<=) koristiš to da su zbirovi naspramnih stranica jednaki, pa dokazuješ da je četverougao tangentan. Ja bih to uradio ovako:



Neka je u četverouglu ABCD: AB + CD = AD + BC , ali neka četverougao ABCD nije tangentan.
Neka je k kružnica upisana u četverougao i neka ona dodiruje stranice AD, AB i BC.
Sa tačkom O označimo presjek simetrala uglova <ABC i <BAD.
Postavimo tangentu t na kružnicu k takvu da tačka C leži na toj tangenti t.
Presjek stranice AD i tangente t označimo sa D'.
Moguća su samo slučaja:
1) moguće je da vrijedi poredak tačaka A-D'-D
2) moguće je da vrijedi poredak tačaka A-D-D'
3) moguće je da se tačke D i D' podudaraju
Razmotrimo 1) slučaj: Neka su P, Q i R dodirne tačke kružnice i stranica AD, AB i BC respektivno.
Sada možemo napisati:
AB + CD = BC + AD
AB + CD' = BC + AD'
Oduzmimo 2 predhodne jednakosti. Dobićemo CD - CD' = AD - AD' ...(*)
Kako je AD - AD' = DD' ...(**) , sada iz (*) i (**) imamo CD - CD' = DD' => CD = CD' + DD' .
A ova novodobivena jednakost je KONTRADIKCIJA. Zašto ? Zato jer u trouglu CDD' mora da vrijedi CD < CD' + DD' (nejednakost u trouglu... ovo mislim da ne moram tumačiti).

Na sličan (gotovo isti) način pokažeš da ne vrijedi ni slučaj pod 2), te onda zaključujemo da mora vrijediti slučaj pod 3), tj. da se tačke D i D' podudaraju. š.t.d. (što je trebalo dokazati)

Iskreno se nadam da sam bar malo pomogao. Slobodno pitaj koji ti dio dokaza nije jasan. Doista mi je žao što nemamo LATEX na forumu, ovo sve bi izledalo dosta ljepše i elegantnije